Approximation affine

On s'intéresse aux fonctions $f$ dérivables sur $\bbr$ satisfaisant la condition

$$f'(x)=k\cdot f(x)\qquad (1)$$

pour tout $x\in\bbr$ , avec $k$ un réel arbitrairement fixé.

On va tenter, dans cette section, d'obtenir une approximation de l'allure de la courbe représentative d'une solution de (1).

On va pour cela considérer que pour $h$ « suffisamment petit » et pour tout réel $a$ , $f'(a)\simeq \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Montrez alors que $f(a+h)\simeq (1+kh)f(a)$ .