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\newcommand{\se}{\geqslant}  % superieur ou egal
% %%% Place verticale dans un tableau
\newcommand{\vtab}[1][1]{\rule[-0.9em*\real{#1}]{0pt}{2.2em*\real{#1}}}
% %%% Intégration par parties dans l'ordre u,v',u',v
\newcommand{\intpp}[4]{%
	$\left\{%
	\begin{matrix}
	\vtab u(x) = #1 & \vtab u'(x) = #3 \\
	\stackrel{}{ v'(x) = #2} & \stackrel{}{v(x) = #4} \\
	\end{matrix}
	\right.$}

% vecteur
\DeclareRobustCommand{\ve}[1]{%
\overrightarrow{\rule{0em}{1.8ex} #1 \rule{0.15em}{0ex}}}

\newcommand\bbz{\mathbb{Z}}

\newcommand\bbn{\mathbb{N}}

\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{red}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{red},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{0.9white}}


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    \color{red}$>\ $}
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    \color{blue}}
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    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}

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%% On redéfinit l'allure des sections en gardant \section, etc.

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\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
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% Exercice
\newcounter{ex}
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        \refstepcounter{ex}
	\vspace{0.5em}
	{\large \textbf{\textsc{\textcolor{0.6white}{Exercice \theex}}}}
	\qquad{\large \textsl{#1}}
	\nopagebreak[4]}%
	{\par\addvspace{1em}}



\title{Corrigé Bac S spécialité France juin 2008\\
           à l'aide de XCAS}

\author{Guillaume CONNAN\\ \href{http://gconnan.free.fr}{http://gconnan.free.fr}}

\begin{document}


\setlength{\parindent}{0mm}

\maketitle

\initablor[tab]

.gp string = text

.gp commande = listing






%%%%%%% Ex1


\begin{exercice}



\begin{enumerate}
\item
.g I:=Int(ln(x),x,1,e)

.g J:=Int((ln(x))^2,x,1,e)

  \begin{enumerate}
  \item 
.g F(x):=x*ln(x)-x

.g deriver(F(x))

On en déduit I~:

.g simplifier(F(e)-F(1))


\item Intégrons par parties J~: \intpp{\ln(x)}{\ln(x)}{\frac{1}{x}}{F(x)}

On obtient~:

\[J=\Bigl[\ln(x)F(x)\Bigr]_1^{\rm e}-\int_1^{\rm e}\ln(x)-1\,{\rm d}x=0-I+({\rm e}-1)={\rm e}-1-I\]

Or $I=1$ donc finalement \fbox{$J={\rm e}-2I$}.

\item On en déduit que $J=e-2$

On vérifie à l'aide de XCAS~:

.g int((ln(x))^2,x,1,e)


\item Par lecture du graphique,\fbox{ $A=\int_1^{\rm e}f(x)-g(x)\,{\rm d}x=I-J=3-{\rm e}$}

On vérifie à l'aide de XCAS~:

.g int(ln(x)-(ln(x))^2,x,1,e)


  \end{enumerate}

\item Les coordonnées de M sont $(x,\ln(x))$ et celles de N $(x,(\ln(x))^2)$ donc \[MN=\ln(x)-(\ln(x))^2=f(x)-g(x)\]

Notons $d=f-g$. Étudions la fonction $d$ sur $[1\,;\,{\rm e}]$.

.g d(x):=ln(x)-(ln(x))^2

Calculons $d'(x)$~:

.g dp:=factoriser(deriver(d(x)))

Étudions son signe~:

.g resoudre(dp>0)

Calculons les valeurs particulières~:

.g d(1),d(exp(1/2)),d(e)

On en déduit le tableau suivant~:

\begin{center}
\begin{TV}
TV([1,e],[],"d","x",ln(x)-(ln(x))^2,1,\tv)
\end{TV}
\end{center}

Le maximum est donc atteint en ${\rm e}^{\frac{1}{2}}$ et vaut $\frac{1}{4}$
\end{enumerate}

\end{exercice}







%%%%%%% Ex 2




\begin{exercice}

On vide les mémoires~:

.g restart(NULL):;


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
.g A:=point(1,1,0):;B:=point(1,2,1):;C:=point(3,-1,2):;

.g coordonnees(vecteur(A,B))

.g coordonnees(vecteur(A,C))

Les coordonnées des deux vecteurs n'étant pas  proportionnelles, on en déduit que les points ne sont
pas alignés.

\item On vérifie que A, B et C appartiennent au plan d'équation $2x+y-z-3=0$.

.g f(C):=2*C[0]+C[1]-C[2]-3:;

.g f(coordonnees(A)), f(coordonnees(B)), f(coordonnees(C))

Les points étant non-alignés, ils définissent le plan.

\end{enumerate}
\item On résout le système  $\begin{cases}x+2y-z-4=0\\ 2x+3y-2z-5=0\end{cases}$ en prenant $z$ comme
paramètre~:

.g resoudre([x+2*y-t-4=0,2*x+3*y-2*t-5=0],[x,y])

\item Comme $(P)\cap (Q)=(D)$, l'intersection des trois plans est donc égale à $(ABC)\cap(D)$.

Un point de (D) ayant pour coordonnées $(-2+t,3,t)$,  il appartient à (ABC) si, et seulement si, ses
coordonnées vérifient l'équation de (ABC)~:

.g resoudre(f([-2+t,3,t])=0,t)

On obtient $t=4$ : les trois plans se coupent donc au point de coordonnées $(2,3,4)$.

On vérifie avec XCAS~:

.g resoudre([x+2*y-z-4=0,2*x+3*y-2*z-5=0,f([x,y,z])=0],[x,y,z])

\item Soit H le projeté orthogonal de A sur (D). Alors la distance cherchée est égale à AH.

Comme H appartient à (D), il existe un réel $t$ tel que les coordonnées de H soient $(-2+t,3,t)$.

Un   vecteur   directeur   $\ve{u}$   de   (D)   a   pour   coordonnées   $(1,0,1)$.   On   a   donc
$\ve{AH}\cdot\ve{u}=O$.  Le réel  $t$  est donc  solution  de l'équation  $(-2+t)\times 1+3\times  0
+t\times 1=0$. 

.g H:=point(-2+h,3,h):;

.g S:=resoudre(produit_scalaire(vecteur(A,H),vecteur([1,0,1]))=0,h)


.g H:=point(-2+S[0],3,S[0]):;coordonnees(vecteur(A,H))

.g distance(A,H)

On vérifie~:

.g D:=droite([-2+t,3,t],t):;

.g distance(A,D)

\end{enumerate}


Voici la figure~:

\begin{lstlisting}
P:=color(plan(x+2*y-z-4=0),jaune+rempli);
Q:=color(plan(2*x+3*y-2*z-5=0),cyan+rempli);
ABC:=color(plan(2*x+y-z-3=0),magenta+rempli);
D:=inter(P,Q)[0];
I:=inter(D,ABC);
A:=point(1,1,0);
H:=projection(D,A);
segment(A,H);
\end{lstlisting}

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{BacScorr.eps}
\end{center}


\end{exercice}





%%%%%%%%%% Ex 3

\begin{exercice}

.g restart(NULL):;

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $R(t)=1-P(X\ie  t)=1-\int_O^t\lambda{\rm e}^{-\lambda x}\,{\rm  d}x=1-\Bigl[-{\rm e}^{-\lambda
x}]_0^t=1-\left(-{\rm e}^{-\lambda t}+1\right)={\rm e}^{-\lambda t}$

.g assume(t>0):;

.g R(t):=simplifier(1-int(k*exp(-k*x),x,0,t)):;

.g R(t)

\item
$P_{X>t}(X>t+s)=\frac{P\bigl((X>t)\cap(X>t+s)\bigr)}{P(X>t)}=\frac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\frac{R(t+s)}{R(t)}=\frac{{\rm
e}^{-\lambda (t+s)}}{{\rm e}^{-\lambda t}}={\rm e}^{-\lambda (t+s-t)}=R(s)$ qui est indépendant de $t$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $P(X\ie t)=1-R(t)$ donc~:

.g k:=0.00026:;

.g 1-R(1000)

.g R(1000)

\item Comme $P_{X>1000}(X>1000+1000)=R(1000)$, on a $P_{X>1000}(X>2000)\simeq 0,771051585804$

\item On cherche à calculer 


 $P_{X>2000}(X\ie  3000)=1-P_{X>2000}(X>   3000)=1-P_{X>2000}(X>
2000+1000)=1-R(1000)=P(X\ie 1000)\simeq 0,228948414196$

\end{enumerate}



\end{enumerate}
\end{exercice}

%%%%%%%%%% Ex 4

\begin{exercice}[Spécialité]

.g restart(NULL):;

\begin{enumerate}
\item Sachant  que $(1\,;\,-1)$ est une  solution évidente, on  obtient le résultat en  utilisant le
théorème de Gauss.

\item On se place en mode complexe~:

.g complex_variables:=1:; complex_mode:=1:;

.g za:=1-i:; zb:=7+7*i/2:; z1:=-2+3*i:;

L'angle de la similitude est $\bigl(\ve{AB},\ve{AM})$  et le rapport vaut $\frac{AM}{AB}$. Il s'agit
donc de calculer le module et l'argument de $Z=\frac{z_1-z_A}{z_B-z_A}$

.g Z:=(z1-za)/(zb-za)

.g arg(Z)

.g abs(Z)


\item Soit $f$ l'application  complexe associée à $s$. Elle est de  la forme a$z+$b~:~il s'agit donc
d'une similitude directe.

.g f(z):=Z*z+1/3-5*i/3

.g f(za)

Le point  A est  donc invariant par  $s$. Or $s$  n'est pas l'identité  donc A  est le centre  de la
similitude directe.  Son rapport vaut $|Z|=\frac{2}{3}$ et  son angle $\arg(Z)=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\
k\in\bbz$.

\item
\begin{enumerate}
\item  A  étant   le  centre  de  la
similitude,           on           a
$\frac{s(AB_n)}{AB_n}=\frac{2}{3}$
et donc \[AB_{n+1}=\frac{2}{3}AB_n\]
\item   Notons   $(d_n)$  la   suite
définie  par $d_n=AB_n$.  D'après ce
qui  précède, $(d_n)$ est  une suite
géométrique  de raison $\frac{2}{3}$
et de premier terme

.g abs(zb-za)

 $d_0=AB=\frac{15}{2}$

On a donc \[d_n=\frac{15}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^n\]

On  cherche  donc  à  résoudre  dans
$\bbn$ l'équation $d_n\ie 10^{-2}$

.g no:=resoudre((15/2)*(2/3)^n<=10^(-2),n)

.g evalf(no)

Donc l'entier cherché est 17.

\item Les  points A, $B_1$  et $B_n$
sont alignés si, et seulement si,
$\left(\ve{AB_1},\ve{AB_n}\right)\equiv
0[\pi]$ c'est-à-dire


$\arg\left(\frac{z_n-z_A}{z_1-z_A}\right)=k\pi,
\ k\in\bbz$


Or       $z_{n+1}-z_A=\frac{2}{3}{\rm
i}z_n-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}{\rm i}=\frac{2}{3}{\rm
i}\left(z_n-z_A\right)$.    On    en
déduit                            que
$z_n-z_A=\left(\frac{2}{3}{\rm i}\right)^{n-1}(z_1-z_A)$
et              donc             que
$\arg\left(z_n-z_A\right)=(n-1)\frac{\pi}{2}+\arg(z_1-z_A)+2k'\pi\
k'\in\bbz$.

On obtient donc $(n-1)\frac{\pi}{2}+2k'\pi=k\pi$
c'est-à-dire $n=2(k'-2k)+1$ ou encore $n$ est impair.

Vérifions à l'aide de XCAS~:

.g s:=similitude(za,2/3,pi/2):;

Pour obtenir l'affixe de l'image de $z_B$ par la composée d'ordre $10$ de $s$, on entre


.g (s@@10)(zb):;

.g:
couleur(legende(za,"A"),bleu+epaisseur_point_3),
droite(point(za),s(zb)), // la droite (AB1),
seq(couleur(legende((s@@k)(zb),"B"+k),red+epaisseur_point_2),k=1..9)
.end

On remarque que les points de rang impair semblent appartenir à la droite $(AB_1)$.



\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{exercice}


\nettoyer

\end{document}