%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{analyse20078.mp}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ùù
%
% continuité
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



 
beginfig( 4);


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=cos(1/t)
                              % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-1.5,1.5,-1.25,1.25,4cm,2cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,0.05,1.5,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,0.04,0.05,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-0.05,-0.04,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-1.45,-0.05,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,0.03,0.04,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-0.04,-0.03,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,0.02,0.03,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-0.03,-0.02,1900)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
r_fin;
endfig;

  


 
beginfig( 5)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                   (sin(t))/t           % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-16,16,-.25,1.25,.25cm,4cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(Pi,Pi,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,0.05,15,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw f_courbe(fx,fy,-15,-0.05,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

r_fin;
endfig;



%%%%
%
%       P ar t i e        entière
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




beginfig(6);
 
repere(0,0,-5,5,-5,5,1cm,.5cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quadu_xy(0.6white);
   path p,c,t;
  c:=halfcircle scaled 0.15cm rotated 90 shifted r_p(-3.9,-5);
  p:=fullcircle scaled 0.15cm shifted r_p(-5,-5);
  t:=r_p(-5,-5)--r_p(-4,-5);
 
  for j:=1 upto 9 :
   fill p shifted r_p(j,j) withcolor 0.4white;
    draw c shifted r_p(j,j) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp;
    draw t shifted r_p(j,j) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.5bp;
  endfor;
  
  
  
  
endfig;



%%% 1/x


 
beginfig( 7)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                     1/t         % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-4,4,-3,3,1cm,1cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
quadu_xy(0.6white);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,-4,-0.1,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw f_courbe(fx,fy,0.1,4,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

r_fin;
endfig;



 
beginfig( 8)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           (t*t-3*t+1)/(t-2)                   % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-2,6,-6,6,1cm,.5cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
quadu_xy(0.7white);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,-2,1.9,1000)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw f_courbe(fx,fy,2.1,6,1000)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw r_p(2,-6)--r_p(2,6) dashed evenly scaled 1.5 withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor 0.4white;

r_fin;
endfig;





%%%%%%%%%%%%%

%
% T V I en 0
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 
beginfig( 9)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                              % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-1,5,-2,3,1.3cm,0.8cm);
r_axes;
r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

%draw f_courbe(fx,fy,,,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

pair a,o,b,xa,ya,xb,yb;
a:=r_p(1,-1);
o:=r_p(1.5,0);
b:=r_p(4,2);
xa:=r_p(1,0);
ya:=r_p(0,-1);
xb:=r_p(4,0);
yb:=r_p(0,2);

draw a..o..b withpen pencircle scaled 1.4bp withcolor 0.5white;
dotlabel(btex  etex,a );
dotlabel(btex  etex,b );

draw yb--b--xb dashed evenly;
draw ya--a--xa dashed evenly;
label.lft(btex $f(b)$ etex,yb );
label.lft(btex $f(a)$ etex,ya );
label.bot(btex $b$ etex,xb );
label.top(btex $a$ etex,xa );
r_fin;
endfig;



\end{filecontents*}






%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{limfonc.mp}


beginfig(3)


repere(10cm,3.5cm,1cm,0.5cm,5cm,2.5cm);
%trace.grille(0.5,0.5pt,0.88white);
%trace.grille(1,0.7pt,0.8white);
marque.unites(1mm);
rtrace.axes(0.5pt);


vardef fx(expr t)=t enddef;
vardef fy(expr t)=cos(t) enddef;
rtrace.courbe(0,1,1500,1.5pt,vert_fonce);
vardef fy(expr t)=cos(t-1) enddef;
rtrace.courbe(1,2,1500,1.5pt,vert_fonce);


dotlabel.top(btex etex,rpoint(1,0.540));
draw rpoint(1,0)--rpoint(1,0.540) dashed evenly;
draw rpoint(0,0.540)--rpoint(1,0.540) dashed evenly;
label.lft(btex cos 1 etex, rpoint(0,0.540));
draw halfcircle scaled 0.2cm rotated 270 shifted(rpoint(0.97,1)) ;

decoupe.repere;
etiquette.axes;
etiquette.unites;
endfig;



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%   TVI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







beginfig(19);

repere(10cm,4cm,1cm,1cm,1cm,0.4cm);
%trace.grille(0.5,0.5pt,0.88white);
%trace.grille(1,0.7pt,0.8white);
%marque.unites(1mm);
rtrace.axes(0.5pt);


draw rpoint(2,1) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(6,4) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(2,1)..rpoint(5,3)..rpoint(6,4)withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor bleu_m;

draw rpoint(0,1)--rpoint(2,1)--rpoint(2,0)dashed evenly;
draw rpoint(0,4)--rpoint(6,4)--rpoint(6,0)dashed evenly;
draw rpoint(5,3)--rpoint(5,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw rpoint(0,3)--rpoint(10,3) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;

label.lft(btex $f(b)$ etex,rpoint(0,4));
label.lft(btex $f(a)$ etex,rpoint(0,1));
label.bot(btex $a$ etex,rpoint(2,0));
label.bot(btex $b$ etex,rpoint(6,0));
label.llft(btex $0$ etex, rpoint(0,0));
label.lft(btex $k$ etex, rpoint(0,3));
label.bot(btex $c$ etex, rpoint(5,0));

decoupe.repere;
etiquette.axes;
%etiquette.unites;


endfig;



%%%% DICHO 1



beginfig(191);

repere(10cm,4cm,2cm,1cm,1cm,0.4cm);
%trace.grille(0.5,0.5pt,0.88white);
%trace.grille(1,0.7pt,0.8white);
%marque.unites(1mm);
rtrace.axes(0.5pt);

numeric xc,yc,xm,ym;
xc:=5;
yc:=4;
xm:=4;
ym:=3;

draw rpoint(2,1)..rpoint(xm,ym)..rpoint(xc,yc)..rpoint(6,6)withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor bleu_m;

draw rpoint(0,1)--rpoint(2,1)--rpoint(2,0)dashed evenly;
draw rpoint(0,6)--rpoint(6,6)--rpoint(6,0)dashed evenly;
draw rpoint(xc,yc)--rpoint(xc,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw rpoint(0,yc)--rpoint(10,yc) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw rpoint(xm,ym)--rpoint(xm,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;


label.lft(btex $f(b)$ etex,rpoint(0,6));
label.lft(btex $f(a)$ etex,rpoint(0,1));
label.bot(btex $a$ etex,rpoint(2,0));
label.bot(btex $b$ etex,rpoint(6,0));
label.llft(btex $0$ etex, rpoint(0,0));
label.lft(btex $k$-plus etex, rpoint(0,yc));
label.bot(btex $c$ etex, rpoint(xc,0));
label.bot(btex $m$ etex, rpoint(xm,0));


draw rpoint(2,1) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(6,6) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(xc,yc) withpen pencircle scaled 5pt;
draw rpoint(xm,ym) withpen pencircle scaled 5pt;




decoupe.repere;
etiquette.axes;
%etiquette.unites;


endfig;















%%%% DICHO 2



beginfig(192);

repere(10cm,4cm,2cm,1cm,1cm,0.4cm);
%trace.grille(0.5,0.5pt,0.88white);
%trace.grille(1,0.7pt,0.8white);
%marque.unites(1mm);
rtrace.axes(0.5pt);

numeric xc,yc,xm,ym;
xc:=3;
yc:=2;
xm:=4;
ym:=3;

draw rpoint(2,1)..rpoint(xc,yc)..rpoint(xm,ym)..rpoint(6,6)withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor bleu_m;

draw rpoint(0,1)--rpoint(2,1)--rpoint(2,0)dashed evenly;
draw rpoint(0,6)--rpoint(6,6)--rpoint(6,0)dashed evenly;
draw rpoint(xc,yc)--rpoint(xc,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw rpoint(0,yc)--rpoint(10,yc) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;
draw rpoint(xm,ym)--rpoint(xm,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.4bp;


label.lft(btex $f(b)$ etex,rpoint(0,6));
label.lft(btex $f(a)$ etex,rpoint(0,1));
label.bot(btex $a$ etex,rpoint(2,0));
label.bot(btex $b$ etex,rpoint(6,0));
label.llft(btex $0$ etex, rpoint(0,0));
label.lft(btex $k$-moins etex, rpoint(0,yc));
label.bot(btex $c$ etex, rpoint(xc,0));
label.bot(btex $m$ etex, rpoint(xm,0));


draw rpoint(2,1) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(6,6) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(xc,yc) withpen pencircle scaled 5pt;
draw rpoint(xm,ym) withpen pencircle scaled 5pt;




decoupe.repere;
etiquette.axes;
%etiquette.unites;


endfig;


























%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   TVI multiple
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





beginfig(20);

repere(11cm,4cm,1cm,1cm,1cm,0.4cm);
%trace.grille(0.5,0.5pt,0.88white);
%trace.grille(1,0.7pt,0.8white);
%marque.unites(1mm);
rtrace.axes(0.5pt);


draw rpoint(2,0.5) withpen pencircle scaled 5pt;

%draw rpoint(4,1.7) withpen pencircle scaled 5pt;

draw rpoint(2,0.5)..rpoint(3,2)..rpoint(4,3.7)..rpoint(6,2)..rpoint(7,1.5)..rpoint(8,2)..rpoint(9,4)withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor bleu_m;

draw rpoint(0,0.5)--rpoint(2,0.5)--rpoint(2,0)dashed evenly;
draw rpoint(0,4)--rpoint(9,4)--rpoint(9,0)dashed evenly;
draw rpoint(3,2)--rpoint(3,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp;
draw rpoint(6,2)--rpoint(6,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp;
draw rpoint(8,2)--rpoint(8,0) dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp;

draw rpoint(0,2)--rpoint(10,2) withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp;
%draw rpoint(4,0)--rpoint(4,1.7) dashed evenly;


draw rpoint(3,2) withpen pencircle scaled 5pt;
draw rpoint(6,2) withpen pencircle scaled 5pt;
draw rpoint(8,2) withpen pencircle scaled 5pt;


draw rpoint(9,4) withpen pencircle scaled 5pt;



label.lft(btex $f(b)$ etex,rpoint(0,4));
label.lft(btex $f(a)$ etex,rpoint(0,0.5));
label.bot(btex $a$ etex,rpoint(2,0));
label.bot(btex $b$ etex,rpoint(9,0));
label.llft(btex $0$ etex, rpoint(0,0));
label.lft(btex $k$ etex, rpoint(0,2));
label.bot(btex $c_1$ etex, rpoint(3,0));
label.bot(btex $c_2$ etex, rpoint(6,0));
label.bot(btex $c_3$ etex, rpoint(8,0));

%label.bot(btex $m$ etex, rpoint(4,0));




decoupe.repere;
etiquette.axes;
%etiquette.unites;


endfig;






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Déclarations des constantes %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  numeric xmin, xmax, ymin, ymax, N;

  ux:=1cm;
  uy:=0.9cm;
  xmin := 1.1; xmax := 7;
  ymin := -.3; ymax := 4;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions des axes et labels associés
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  vardef axes =
   drawarrow (ux*xmin,0) -- (ux*xmax,0); % axe des x
   drawarrow ((0,uy*ymin) -- (0,uy*ymax)) shifted (1.4*ux,0) ; % axe des y
   %label.lrt(btex $x$ etex,(xmax*ux,0)); % label de l'axe des x
   %label.urt(btex $y$ etex,(0,ymax*uy)); % label de l'axe des y
  enddef;



beginfig(242);

axes; label.llft(btex $0$ etex,(1.3*ux,-.1*uy));

pair h,b; % shift des tirets

b:=(0,-.1*uy); h:=(0,.1*uy);

%%%%%%%%%%%%%%%
% Courbe
%%%%%%%%%%%%%%%
path p;

p:=(1.6ux,1.2*uy)..(2.5*ux,uy)..(5.5*ux,4*uy);



draw p withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor bleu_m; label.rt(btex $\Gamma$ etex,(5.5*ux,4*uy)shifted 2h);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Tangente
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
numeric e; %paramètre du point A

pair M,A;

e:=1.3;

A:=point e of p; M:=direction e of p;

path T; T:=(A shifted -1.5M)--(A shifted 1.5M); draw T withcolor red withpen pencircle scaled 1.3bp;
label.rt(btex $\mathcal{T}$ etex,A shifted M+(.7*ux,0)+4h) withcolor red;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Verticales
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

draw A withpen pencircle scaled 3bp withcolor bleu_m; label.top(btex $P$ etex, A shifted h)withcolor bleu_m;

pair B; B:= A yscaled 0;

draw A--B dashed evenly withcolor 0.4white withpen pencircle scaled 1.3bp; label.bot(btex $c$ etex,B shifted b) withcolor 0.6white;

draw (B shifted b)--(B shifted h) withcolor 0.6white;


endfig;




\end{filecontents*}










\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}}

\entete{Chapitre \theNumLecon - \NomLecon}{\sffamily\nouppercase{\rightmark}}{T\textsuperscript{ale}S5}%g,d,b
\usepackage{caption}
\renewcommand{\figurename}{}
\renewcommand{\thefigure}{\arabic{NumLecon}.\arabic{figure}}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
\newcolumntype{A}{>{\arraybackslash}X}



\setcounter{NumLecon}{2}


\LECOND{II}{Deuxième}{FONCTIONS  }{CONTINUES }{FONCTIONS CONTINUES}{chainonmanquant.eps}



\begin{Abstract}
Notre héros s'est familiarisé avec les notions de limite, de
problème local ou global. Ces notions vont être amplement
réinvesties lors de ce nouvel épisode, encore semé d'embuches...
\end{Abstract}



\section{Qu'est-ce qu'une fonction continue en un point
?}


\pro Cette fois-ci, je vous donne la définition directement.


\begin{Defi}
  

Soit $a$ un réel, et soit $f$ une fonction
définie sur un intervalle contenant $a$.
 On dit que \textbf{\mg$f$ est continue en $a$}
lorsque $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$. 
\end{Defi}

Vous savez que $x^2$ tend vers 9 quand $x$ tend vers 3. Eh bien,
cela signifie que la fonction carrée est continue en 3.



\MAT{D'après votre définition, il faut que $f$ soit définie en $a$
pour pouvoir parler de la continuité de $f$ en $a$.}

\pro Oui, sinon $f(a)$ n'aurait pas de sens ! En revanche, on peut
parler parfois de limite de $f$ en $a$ même lorsque $f$ n'est pas
définie en $a$. Par exemple $\ds\limd{0}\fr{1}{x}=+\infty$~: la fonction inverse n'est pas définie en
0 mais admet une limite en 0.

\MAT{Vous m'avez donné la définition mathématique, mais vous ne
m'avez pas expliqué ce qu'elle signifie. En fait, je ne vois pas
trop où se trouve le problème.}
%
%\pro C'est justement l'objet de la question suivante.
%
%
%
%\subsection{La continuité de $f$ en $a$ signifie-t-elle que l'on
%peut représenter $f$ par un trait continu au voisinage de $a$ ?}
%
%
%\MAT{Je trouverais ça normal, car le mot <<~continuité~>> évoque
%un trait continu.}
%
%\pro Justement ce n'est pas le cas. La continuité de $f$ en $a$
%n'entraîne pas systématiquement que l'on puisse tracer le graphe
%de $f$ au voisinage de $a$
% <<~sans lever le crayon~>>.
%Regardez par exemple la fonction  suivante
%$$f:\bbr\to\bbr,\,
%\begin{cases}
%{1}/{n}\mapsto{1}/{n}& \text{pour tout $n\in\bbn^*$}\\
%x\mapsto0& \text{si $x\neq{1}/{n}\,$ pour tout $n\in\bbn^*$}
%\end{cases}
%\cdot
%$$
%
%\MAT{Hein..!!??}
%
%\pro La courbe représentative de $f$ est constituée d'une suite de
%points sur la première bissectrice, et d'une autre partie incluse
%dans l'axe des abscisses.
%
%\begin{center}
%\includegraphics{continu.1}
%\end{center}
%
%
%On <<~voit~>> donc que pour tracer cette courbe au voisinage de
%l'origine qui est le point de la courbe d'abscisse 0,
% il faudrait <<~lever le crayon~>> une infinité de
%fois. Et pourtant, $f(x)$ tend vers $f(0)$ quand $x$ tend vers 0
%puisque
%$$\text{pour tout } x\in\bbr\ \ 0\ie f(x)\ie x\to\ 0\ \ \ \text{après avoir fait le 17}$$
%
%Cet exemple est assez tiré par les cheveux mais vous montre  que
%la définition de la continuité en $a$ ne recouvre pas exactement
%l'idée suggérée par le mot <<~continuité~>>. Et il ne pouvait pas
%en être autrement. En effet, la  continuité
% en un point $a$ est, d'après sa définition, une notion locale, comme la notion de
% limite,
% alors que l'idée intuitive
% de <<~trait continu~>> est une notion globale.
%
%\MAT{Mais alors  pourquoi s'encombrer l'esprit avec une définition
%supplémentaire ? D'après ce que vous venez de me dire, on aurait
%pu se passer de la définition de la continuité de $f$ en $a$. }

\pro Je suis d'accord avec vous. Cette définition fait double
emploi avec la définition de la limite. En réalité, la notion de
continuité d'une fonction en un point $a$ n'est introduite que
pour permettre de définir la notion de fonction continue sur tout
un intervalle. Nous verrons que, par définition, une fonction
définie sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ lorsqu'elle est
continue en chaque point de $I$. Dans ce cas, le mot continu est
bien choisi car les fonctions continues sur un intervalle sont
précisément celles dont le graphe se trace à l'aide d'un trait
continu.

\MAT{Mais pourquoi m'avez-vous quand même donné la définition de
la continuité en un point ?}

\pro Parce qu'il existe des cas où une fonction est continue \og~presque partout~\fg et qu'il faut y
regarder de plus près, des fois qu'on pourrait arranger les choses.





\subsection{Peut-on soigner des fonctions discontinues en un point~?}

\MAT{Je me souviens avoir vu en Première que la fonction
$x\mapsto1/x$ n'a pas de limite en 0, mais que par contre on a
$$\lim_{x\to 0^+} 1/x=+\infty\ \ {\rm et}\ \
\lim_{x\to 0^-} 1/x=-\infty$$}

\pro Très bien, mais je préfèrerais que vous notiez

\[\limd{0}\frac{1}{x}=+\infty\ \ {\rm et}\ \ \limg{0}\frac{1}{x}=-\infty\]




et d'ailleurs,  qu'est-ce que cela signifie précisément~?

\MAT{Dire que $x$ tend vers $0^+$ signifie que $x$ tend vers 0 en
restant strictement positif.}

\pro C'est bien l'idée qui est derrière, même si elle reste un peu
vague. (Mal)heureusement, la définition rigoureuse est hors
programme.

Cette notion a un intérêt lorsque la fonction  $f$ présente une
discontinuité en $a$ mais a un comportement <<~régulier à droite
de $a$~>>. C'était le cas par exemple de la fonction~:

$$f_2:[0,2]\to\bbr,\,x\mapsto
\begin{cases}
\cos x&\text{ si $x\in[0,1]$}\\
\cos(x-1)&\text{ si $x\in]1,2]$}
\end{cases}
$$
Cette fonction n'a pas de limite en 1. Mais elle a une limite à
droite en 1 égale à $1$ et une limite à gauche égale à $\cos 1$.


\MAT{Mais Maître, quand on écrit $\ds\lim_{x\to 1} (x-1)^2=0^+$,
ça n'a pas le même sens, n'est-ce pas ?}



\pro Non, effectivement, mais cette écriture n'est pas très
correcte, car la limite de  $(x-1)^2$ quand $x$ tend vers 1, est
le réel 0 et rien d'autre. Si on écrit  $0^+$, c'est pour se
souvenir que les valeurs de $(x-1)^2$ pour des $x$ proches de 1
sont positives. Une telle écriture permet parfois de simplifier le
calcul de certaines limites  : par exemple,
$$\lim_{x\to 1}(x-1)^2={0^+}\Longrightarrow \lim_{x\to
1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty$$



\subsection{Y a-t-il différents
types de discontinuité ?}


\pro Oui ! Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si
elle a une limite à gauche et une limite à droite en $a$ et que
ces deux limites sont égales à $f(a)$. Elle peut donc être
discontinue en $a$ pour plusieurs raisons.

\bez

\item  Première raison possible : $f$ admet une limite à gauche et à
droite en $a$, mais ces deux limites ne sont pas égales. C'est le
cas de la fonction $f_2$ de la question précédente.

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.3}
\end{center}



\item Deuxième raison possible : $f$ admet une limite commune à gauche
et à droite en $a$, mais $f$ n'est pas définie en $a$ ou admet une autre valeur que la limite
commune.
 C'est le cas par exemple de la fonction sinus amorti, très importante en physique

\[f_4~:~x\mapsto \frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\]

Nous avons montré en exercice que $\limg{0}f_4(x)=\limd{0}f_4(x)=\Lim{0}=1$.

Il suffit donc maintenant de créer la \emph{nouvelle fonction} $g$ suivante

\[g~:~x\longmapsto \begin{cases}\frac{\sin x}{x}\ \text{ pour tout } x\neq 0\\ 0\
  \text{ si }x=0\end{cases}\]


\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.5}
\end{center}


On dit alors qu'on a \emph{prolongé $f_4$ par continuité en 0}.

\item Troisième raison possible, et les choses deviennent compliquées~:
$f$ n'a pas de limite à droite ou à gauche en $a$. Il faut bien
avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions ont une
limite à gauche et à droite. Mais il faut avoir vu ces
contre-exemples une fois dans sa vie, pour bien comprendre la théorie, comme
celui de la fonction $f_5$ définie par
$$\text{pour tout } x\in\bbr^*\ \ f_5(x)=\cos\left({1}/{x}\right),\ \text{et }
f_5(0)=0$$



\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.4}
\end{center}




Elle n'a pas de limite à droite ni à gauche  en 0. Quand $x$ tend
vers $0$, $f_5(x)$ oscille continûment entre $-1$ et $1$, de plus
en plus vite à mesure que $x$ se rapproche de $0$.

Pour montrer que $f_5$ n'a pas de limite à droite en 0, nous aurons besoin d'avoir étudié les
suites~:~il faudra donc patienter un peu.

\MATA{Ouf !...}


\ez

%allons utiliser un raisonnement très important à comprendre.
%
% On
%remarque
% que tout
%intervalle de la forme $]0,\alpha]$ contient un réel de la forme
%$1/2n\pi$ et un autre de la forme $1/(2m+1)\pi$ avec $n$ et $m$
%entiers, ce qui conduit à une contradiction puisque
%$$f_5\bigl(1/2n\pi\bigr)=1\ \ {\rm et}\ \   f_5\bigl(1/(2m+1)\pi\bigr)=-1\cdot$$
%
%\MAT{Je ne vois pas trop où est la contradiction. Ce mélange de
%suite et de fonctions m'embrouille.}
%
%\pro Auriez-vous oublié la fin de l'épisode II~: si $\ds\lim_{n\to
%+\infty}u_n=0$ et $\ds\lim_{x\to0}f(x)=\ell$, alors
%$\ds\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=\ell$.
%
%\MAT{ah ouais~! Les deux suites $(1/2n\pi)$ et
%$\bigl(1/(2n+1)\pi\bigr)$ convergent vers 0, donc si $f_5$
%admettait une limite, les suites $\bigl(f_5(1/2n\pi)\bigr)$ et
%$\Big(f_5\big(1/(2n+1)\pi\big)\Big)$ convergeraient vers cette
%même limite, ce qui n'est pas le cas. Comme nous aboutissons à une
%contradiction, c'est que notre hypothèse de départ était fausse,
%donc $f_5$ n'admet pas de limite en $+\infty$.}
%
%\pro On f'ra quelque chose de vous, jeune Mataïe.
%



\section{Propri\'et\'es des fonctions continues sur un
intervalle}

\subsection{Intervalle}


\pro Tout d'abord, qu'est-ce qu'un intervalle~?

\MAT{Ben c'est quelque chose du style $[a,b]$, ou $]a,b]$ ou
$[a,b[$, ou $]a,b[$, ou $]-\infty,b]$ ou etc.}

\pro C'est un peu vague. Malheureusement une définition rigoureuse
n'est pas envisageable en Terminale. Posons-nous au moins une
question~: est-ce que $\bbr^*$ est un intervalle~?

\MAT {Je pense que non~: il n'entre dans aucune des catégories car
il a un <<~trou~>>.}

\pro C'est bien vu. Nous devrons nous contenter de cette absence
de <<~trou~>> pour caractériser les intervalles.




 \subsection{Quelles sont les fonctions dont le graphe est un
trait continu ?}


\pro On peut déjà remarquer que c'est le cas de la plupart des
fonctions que vous connaissez \mat. En effet, on peut considérer
que les graphes des fonctions polynômiales, rationnelles, racine
carrée, sinus,... sont des <<~traits continus~>>, c'est-à-dire
qu'on n'a pas à <<~lever le crayon~>> pour les tracer.

\sm

Mais attention, ce n'est pas toujours le cas. Nous avons déjà
étudié la fonction
$$g:[0,2]\to\bbr,\,x\mapsto
\begin{cases}
\cos x&{\rm si}\ x\in[0,1]\\
\cos(x-1)&{\rm si}\ x\in]1,2]\\
\end{cases}$$
et son graphe n'est pas un <<~trait continu~>>.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.3}
\end{center}

\MAT{Mais cette notion de <<~trait continu~>> a-t-elle un sens
mathématique  ?}


\pro Pour le moment, cette notion de <<~trait continu~>> est juste
une notion intuitive que tout le monde comprend. Et ce que je vous
propose de faire maintenant, c'est de chercher quelle  propriété
une fonction doit vérifier pour que son graphe soit un <<~trait
continu~>>.


\sm

La première condition est que la fonction soit définie sur un
intervalle. Vous voyez bien par exemple que le graphe de la
fonction
$$f:\bbr^*\to\bbr,\,x\mapsto\frac{1}{x}$$
n'est pas un <<~trait continu~>> et la raison en est que $\bbr^*$
n'est pas un intervalle.

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.7}
\end{center}

On se limite donc à une fonction définie sur un intervalle.
Pouvez-vous me dire, \mat, à quelle condition son graphe est un
<<~trait continu~>> ?

\MAT{J'ai peut-être une idée. La fonction $g$ précédente est bien
définie sur un intervalle mais elle  a un graphe <<~en deux
morceaux~>> parce que $g(x)$ est défini par deux formules
différentes suivant les valeurs de $x$. Mais s'il n'y a qu'une
seule formule, comme pour les fonctions polynomiales, cosinus ...,
alors le graphe sera un trait continu. }


\pro Non \mat. La fonction partie entière
$$f:\bbr\to\bbr,\,x\mapsto E(x)$$
est définie par <<~une seule formule~>>, comme vous dites, mais il
faut lever le crayon pour tracer son graphe.

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.6}
\end{center}

Vous sentez bien que la notion de <<~fonction définie par une
seule formule~>> est trop vague. Il faudrait préciser son sens, et
ce n'est pas facile. Revenons plutôt à la fonction $g$ : à votre
avis, pour quelle raison son graphe n'est-il pas un trait
continu~?

\MAT{Peut-être parce que les limites de $g$ à gauche et à droite
en 1 sont différentes.}

\pro C'est ça, et comme ces deux limites sont différentes, $g$ n'a
pas de limite en 1. Plus généralement, si l'on considère une
fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, le graphe $\Gamma_f$
ne peut être un <<~trait continu~>> que si $f$ admet une limite en
tout point $a$ de $I$. Et d'ailleurs, comme $f$ est définie en
$a$, cette limite est nécessairement égale à $f(a)$. On constate
que c'est cette condition
 sur $f$ qui rend compte du fait que $\Gamma_f$ est un <<~trait
continu~>>. Mais plutôt que de dire ~\textit{le graphe de $f$ est
un trait continu}, on dira  \textit{la fonction $f$ est continue}.


\begin{Defi}

Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une
fonction de $I$ vers $\bbr$. On dit que $f$ est continue lorsque,
pour tout $a\in I$, on a $\ds\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, ce qui
revient à dire que $f$ est continue en tout point de $I$. 
\end{Defi}


\MAT{Mais il est impossible de vérifier pour chaque point que la
fonction y est continue~!}

\pro Certes~! Nous pouvons malgré tout aisément vérifier que les
fonctions polynômes, sinus, cosinus, valeur absolue, racine carrée
sont continues.

Dans la pratique nous utiliserons les théorèmes opératoires. Nous
pouvons ainsi montrer, grâce aux théorèmes opératoires sur les
limites que les sommes, produits, quotients et composées des
fonctions de référence sont continues \textbf{là où elles sont
définies}.

\sm

Par exemple, nous écrirons que la fonction $x\mapsto
\fr{x^2-3x+1}{x-2}$ est continue sur $]-\infty,2[$ ET sur
$]2,+\infty[$ comme quotient de fonctions polynomiales continues.

\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.8}
\end{center}





\MAT{Donc si j'ai bien compris, il faut interpréter la continuité
d'une fonction définie sur un intervalle en disant que son graphe
est un <<~trait continu~>>.}

\pro C'est ça.

%\MAT{Mais vous m'aviez expliqué que la
% continuité de
% $f$ en $a$ ne signifiait pas que $\Gamma_f$ soit un <<~trait continu~>> au voisinage du
% point d'abscisse $a$. C'est assez curieux.}
%
%\pro Tout à fait ! Mais il faut distinguer la continuité
%\textit{en point donné} et la continuité \textit{sur tout un
%intervalle} qui elle peut s'interpréter en terme de <<~graphe
%continu~>>.
%

\subsection{Application fondamentale~:~une fonction continue peut-elle changer de signe sans
s'annuler ?}


\MAT{Je pense que non ! Car pour relier par un <<~trait continu~>>
un point situé en dessous de l'axe $Ox$ à un point situé au
dessus, il faudra couper cet axe.}

\begin{center}
\includegraphics{analyse20078.9}
\end{center}

\pro Très bien ! L'interprétation intuitive de la continuité de
$f$ vous a permis de deviner le résultat. Mais il faut maintenant
le démontrer rigoureusement en revenant à la définition de la
continuité. Autrement dit, étant donnée une fonction $f$ continue,
définie sur  un intervalle contenant $a$ et $b$ avec $a<b$ et
telle que $f(a)$ et $f(b)$ soient de signes opposés, comment
montrer l'existence d'un zéro de $f$ sur $]a,b[$, c'est-à-dire
d'un élément $c$ de $]a,b[$ tel que $f(c)=0$ ?

\sm

Cette démonstration étant délicate mais constituant une trés
intéressante application du théorème des suites adjacentes, nous
nous en occuperons en TD un peu plus tard cette année.


\subsection{Une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ prend-elle
toutes les valeurs  comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ ?}

\MAT{Est-ce que ce n'est pas quasiment le même problème que celui
de la question précédente ?}

\pro Effectivement. Alors voilà le résultat.

\begin{The}{Théorème des valeurs intermédiaires}
  Soit $f$ une fonction
continue d'un intervalle $I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$
deux éléments de $I$ tels que $a<b$. Alors pour tout réel $k$
compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{The}


\begin{center}
\includegraphics{limfonc.19}
\end{center}

La preuve est très simple. Si $f(a)$ ou $f(b)$ est égal à $k$, on
prend $c=a$ ou $c=b$. Et sinon, on applique le résultat de la
question précédente à la fonction auxiliaire
$$g:I\to\bbr,\,x\mapsto f(x)-k$$
On peut le faire car $g$ est continue et car $g(a)$ et $g(b)$ sont
non nuls et de signes opposés puisque $\lambda$ est compris entre
$f(a)$ et $f(b)$.


\subsection{Comment montrer que deux courbes se rencontrent ?}

\MAT{Mais c'est encore le même genre de problème, à condition  de
supposer que les deux courbes sont des <<~traits continus ~>>.}

\pro Ce que nous supposerons. Et vous avez raison, on pourra
\textit{souvent} se ramener au théorème des valeurs
intermédiaires.


Montrer que les graphes des fonctions continues $f$ et $g$ se
rencontrent revient à montrer qu'il existe $c$ tel que
$f(c)=g(c)$. On introduit alors la \textit{fonction auxiliaire}
$f-g$, et pour montrer qu'elle s'annule, il suffit d'après le
théorème des valeurs intermédiaires de trouver $a$ et $b$ tels que
$f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.

\sm

On peut par exemple utiliser cette technique pour montrer qu'une
fonction $f$ continue définie sur $[0,1]$ et à valeurs dans ce
même intervalle $[0,1]$ admet un point fixe, car cela revient à
montrer que son graphe rencontre la première bissectrice.

\sm

Nous traiterons ces exemples en exercices.


\MAT{Vous aviez l'air de dire tout à l'heure que le théorème des
valeurs intermédiaires ne permettait pas toujours de montrer que
deux courbes se rencontrent.}

\pro Oui, dans le cas où les deux courbes se rencontrent <<~sans
se croiser~>>. Par exemple, cela peut se produire avec le graphe
d'une fonction ayant certaines propriétés et l'une de ses
tangentes.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.242}
\end{center}
 On peut avoir $f(c)=g(c)$ sans qu'il existe $a$ et $b$
 distincts
tels que $f(a)\ie g(a)$ et $f(b)\se g(b)$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%    nouveauté 2003
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\subsection{ Comment montrer qu'une équation admet une unique
solution~?}


\pro Le TVI s'avère fort utile comme vous venez de le découvrir,
pour montrer qu'une équation admet \textit{au moins} une solution.
Il a pourtant un défaut\,\footnote{Contrairement à vous, chanceux
lecteur, \mat\   ne peut distinguer à l'oreille les caractères en
italique}.

\tsx On sait que l'équation admet \textit{au moins} une solution,
mais on ne sait pas \textit{combien} de solutions cela
représente\,\footnote{Vous devez admettre que \mat \   assure un
max}.

\pro Vous avez mis le sabre laser sur la faiblesse du TVI. En
fait, il suffit de  rajouter une petite hypothèse au TVI pour le
voir se transformer en TSU.

\tsx TSU, TSU, mmmm.... J'y suis ! Théorème de LA solution
unique\,\footnote{Faut quand même pas pousser : c'est plus un
élève, c'est un héros de film américain}.

\pro Oui ! Alors, comment être sûr de l'unicité de la solution ?

\tsx Je suppose qu'un petit dessin devrait m'aider.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.20}
\end{center}

En fait, si la courbe joue aux montagnes russes, certains réels de
l'intervalle $\big[f(a),f(b)\big]$ auront plusieurs antécédents,
ce qui ne sera plus vrai si $f$ est strictement monotone.

\pro Nous pouvons à présent énoncer le théorème de LA solution
unique\,\footnote{Pour le bac, un tableau de variation complété
suivi d'une phrase du style <<~ par lecture du tableau de
variation~>> suffira}

\begin{The}{Théorème de la solution unique}
  Soit $f$ une fonction
\textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} d'un intervalle
$I$ vers $\bbr$, et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels
que $a<b$. Alors pour tout réel $k$ \textbf{compris entre} $f(a)$
et $f(b)$, il existe un \textbf{unique} réel $c\in[a,b]$ tel que
$f(c)=k$.
\end{The}


\smallskip

La démonstration en est simple : l'hypothèse rajoutée nous indique
dans quelle direction chercher. Je vous laisse donc la rédiger...

\tsx ...à titre d'exercice, je sais.




\subsection{Comment résoudre une équation numérique par
dichotomie~?}


\pro Fort de ces nouveaux pouvoirs mathématiques, montrer que
l'équation

$$x^4+x=1$$

admet une unique solution $x_0$ sur $[0,1]$ ne va vous poser aucun
problème.

\tsx Il doit suffire d'étudier la fonction
$$ f~: ~ [0,1]\to \bbr,\quad x\mapsto x^4+x$$
D'après les théorèmes généraux elle est continue sur $[0,1]$. On
vérifie aisément qu'elle est srictement croissante sur cet
intervalle. Enfin $f(0)=0$ et $f(1)=2$. Je dégaine alors le TSU
pour conclure.

\pro Vous assimilez vite. Comment feriez-vous, \mat, pour
déterminer une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-2}$ près avec
votre calculatrice~?

\tsx Rien de plus simple : je tape
\begin{center}
\texttt{solve(x\textasciicircum 4+x=1,x)}
\end{center}

et la calculatrice me répond

\begin{center}
\texttt{-1.220744085,\ \ 0.7244919590}
\end{center}

Or, comme $x_0\in[0,1]$, je ne garde que le deuxième solution.

\pro, \textit{à part}~: Il m'a roulé...\textit{(à voix haute)}~
Certes, certes...euh...mais imaginons que votre calculatrice n'ait
pas de touche \texttt{solve}.

\tsx J'essaie différentes valeurs. Si je tombe sur une image
supérieure à 1, je prend un $x$ plus petit, et vice versa.


\pro En fait, on peut systématiser la recherche des différentes
valeurs de $x$ pour minimiser le nombre de calculs.

Considérons une fonction $g~:~ [a,b]\to \bbr$ strictement
croissante, continue et telle que $g(a)<k$ et $g(b)>k$. Alors
l'équation $g(x)=k$ admet une unique solution $c$ dans $]a,b[$
d'après le TSU. Pour obtenir une valeur approchée de $c$, on va
<<~dichotomer~>> le segment $[a,b]$, c'est à dire qu'on va le
couper en deux, par exemple par le milieu $m=(a+b)/2$. Le monde
alors se sépare en deux catégories :

\bez

\item si $g(m)<k$, alors $c\in]m,b[$

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.191}
\end{center}

\item si $g(m)\se k$, alors $c\in]a,m]$


\begin{center}
\includegraphics{limfonc.192}
\end{center}

\ez

En répétant ce procédé, on pourra construire une suite de segments
<<~emboîtés~>> contenant $c$, centrés en $m_n$ et de longueurs
aussi petites que l'on veut. Vous pourrez peut-être démontrer
l'année prochaine que la suite $(m_n)$ converge vers $c$, et que
les différentes valeurs de $m_n$ sont autant de valeurs approchées
de $c$.


\tsx Mais à quoi sert cette méthode puisque ma calculatrice
possède la fonction \texttt{solve}~?

\pro Justement, le (la) programmeur(se) de votre calculatrice a
probablement utilisé une méthode pour
écrire le programme associé à la touche \texttt{solve}, un peu plus compliquée que la dichotomie,
mais un futur
scientifique et informaticien comme vous doit donc connaître la
méthode de dichotomie.

\subsection{Avec XCAS}

Pour mettre tout ceci  en pratique, ouvrons XCAS

\begin{lstlisting}
  dicho(f,p,a,b):={
local aa,bb,k;
aa:=a;
bb:=b;
k:=0; // on crée un compteur d'itérations
while( (bb-aa)>p) {
if (sign((f((bb+aa)/2)))=sign((f(bb))) ) bb:=((aa+bb)/2);
else aa:=((aa+bb)/2);
k:=k+1; // on rajoute 1 au compteur
}
return evalf((bb+aa)/2)+" est la solution trouvée  après " +k+ " itérations";
}:;

\end{lstlisting}


ce qui donne pour $\sqrt{2}$

\begin{lstlisting}
  Digits:=30:;dicho(x->x^2-2,10^(-30),1,2)
\end{lstlisting}



\begin{boxedverbatim}
  1.414213562373095048801688724209 est la solution trouvée  après 100 itérations
\end{boxedverbatim}

\pagebreak


\section{A mad tea party}

\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{MadHatter.eps}
\end{center}


\textit{<<~Reprenez donc un peu de thé~>> propose le Lièvre de Mars.}

\textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}

\textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> repartit le Chapelier.\\
 <<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
facile d'en reprendre~>>.}

\sm

 \begin{itemize}

 \item Alors comme ça, vous êtes étudiante~?
 \item Oui, en mathématiques par exemple.
 \item alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre~?
 \item Eh bien ...
 \item Elle vaut deux tiers, la devança le Loir.
 \item Ou trois huitièmes si vous préférez, ajouta le Lièvre de Mars.
 \item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
 \item En fait, je crois que...
\item Aucune importance ! Dîtes-nous plutôt combien vous voulez de sucre dans votre thé~?
\item Deux ou trois, ça dépend de la taille de la tasse.
\item Certainement pas, car de toute façon, deux ou trois c'est pareil.
\item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui écarquillait les yeux.
\item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
\item Pourtant, ce n'est pas compliqué à comprendre, en voici une démonstration des plus élémentaires\\
                On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
                $$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
                $$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
                Retranchons $n(2n+1)$ des deux côtés
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
                Mézalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
                Soit
                $$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant à la racine carrée, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'où
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussitôt $3=2$
\item Alors, qu'est-ce que vous en dites~?
\item Je...commença Alice.
\item D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont égaux, la coupa le Lièvre de Mars.
\item Pas mal du tout ! Qu'en dites-vous mademoiselle la mathématicienne~?
\item Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense
\item Ah non ! Nous préférerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
\item C'est pareil ! grinça Alice qui commençait à en avoir assez.
\item Comment ça, c'est pareil~? Dire ce que l'on pense ce serait pareil que penser ce que l'on dit~? S'étrangla le Lièvre de Mars.
\item Incroyable ! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange~?
\item Mais...
\item Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire ~?
\item En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
\item Autant dire moins que un.
\item C'est à dire zéro, puisque si 2=3 alors 1=0.
\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1 ? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend à l'école ! Bien sûr que oui ! Tenez, considérez
$$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
Eh bien il est facile de voir que cette fonction a pour limite 0 en moins l'infini et 1 en plus l'infini.
\item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
\item Donc l'image par $f$ de $\bbr$ est l'intervalle $]0,1[$, or $f(0)=3$, donc 3 appartient à $]0,1[$ à ce titre : on a bien 3 plus
petit que 1.
\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}


\section{Exercices divers}

\exot{Cheshire cat's journey} Un chat du Cheshire  parcourt 10 km en 2 heures. montrez qu'il existe un intervalle de temps de durée 1 heure pendant lequel il a
parcouru exactement 5 km.

\jok{Introduisez la fonction qui à t  associe le nombre de km parcourus en t heures puis la fonction $t\mapsto d(t+1)-d(t)$}



\exot{Racine d'un polynôme} Montrez que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. \env{Il faut considérer la fonction polynomiale
associée et chercher un théorème dans le cours qui vous permette de conclure.}

\exot{Partie entière} \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $f$ définie sur $\bbr^*$ par
$f~:\ x\mapsto \fr{E(x)}{x}$




\exot{Partie entière~:~le retour} Soit $F$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$F~:\ x\mapsto x-E(x)$
On rappelle que $E(x)$ est l'unique entier vérifiant $E(x)\ie x<E(x)+1$.

\sm

Montrez que $E(x+1)=E(x)+1$ puis que $F$ est périodique.
 et
représentez \textit{sommairement} $F$ sur un graphique.


\exot{Point fixe} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ et à valeurs dans $[0,1]$.

Montrez qu'il existe un réel $x_0\in[0,1]$ vérifiant $f(x_0)=x_0$. Illustrez votre propos à l'aide d'un schéma.

\exot{Partie entière will never die} Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{E(-3nx)}{-2n}$ \jok{Commencez par encadrer $E(-3nx)$}

\exot{Somme de parties entières} Soit $x\in\bbr$. \'Etudiez $\Lim{+\infty}\fr{1}{n^2}\sum_{k=1}^nE(kx)$



\exot{Résolutions analytiques d'équations}


\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ d\'efinie sur $\bbr$
par $f(x) =  \cos x + x$.

En d\'eduire que l'\'equation $\cos x + x =  0$ a une unique solution. En donner une valeur approch\'ee
 à $10^{-3}$ pr\`es.

\item On consid\`ere l'\'equation (E) $\sin x -
\cfrac{x}{2} = 0,~x \in \bbr$.

\begin{enumerate} \item Montrer que toutes les solutions de cette \'equation appartiennent à l'intervalle
$[-2~;~2]$.

\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'\'equation (E).

\item Donner une valeur approch\'ee, à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut, de la plus grande
solution.

\end{enumerate}

\end{enumerate}












\exot{\'Echelon de Heaviside}

\begin{enumerate}
\item Occupons-nous de fonctions utilisées couramment en électricité \footnote{et aussi en infographie, en musique, etc. }

\begin{tabularx}{\linewidth}{AA}

On considère le cicuit très simple ci-contre. On ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$ et on mesure la tension $U(t)$ .
Elle peut être définie par \[t\mapsto U(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  t\se 0\\ 0 &   \text{si }\  t<0 \end{cases}\]
&
\includegraphics{CircuitOnOff.1}

\end{tabularx}

Représentez graphiquement la fonction $U$.

\item On note $f$ la fonction $f~:~t\mapsto U(t-2)$ et $g~:~t\mapsto U(t+2)$.

En électricité, on appelle l'une \textit{échelon retardé} et l'autre \textit{échelon avancé} : pourriez-vous dire qui est qui ?





\end{enumerate}


\exot{Fonction porte}

Représentez la fonction $\Pi~:~x\mapsto \begin{cases} E &   \text{si}\  |x|\ie 1/2\\ -E &   \text{si }\ |x|>1/2 \end{cases}$

Donnez une interprétation physique de cette fonction si $x$ représente la fréquence d'un signal émis par un émeteur radio.


\exot{Signal carré}

 Pour s'amuser, on fait varier le sens du courant.  Représentez la fonction $\f$ qui est de période 1 et vérifie
\[t\mapsto \f(t)=\begin{cases} E &   \text{si}\  0<t<1/2\\ -E &   \text{si }\  1/2<t<1 \end{cases}\]


\exot{Signal triangulaire}


\been

\item
Soit T la fonction \textbf{paire}, de période 1, et qui vérifie, pour tout $x\in[0\pv 1/2[$ 
\[ T(x)=E-2Ex  \]


Représentez graphiquement cette fonction et déterminez l'expression de cette fonction pour $x\in]-1/2\pv 0]$



\item On considère la fonction $\Lambda$ définie sur $\bbr$ par 

\[  \Lambda~:~t\mapsto tU(t)-2(t-1)U(t-1)+(t-2)U(t-2)  \]

où U est la fonction de Heavyside étudée précédemment.

Représentez graphiquement cette fonction en distingant les intervalles $]-\infty\pv 0[$, $[0\pv 1[$, $[1\pv 2[$ et $[2\pv +\infty[$.

\item Donnez un nom à la fonction suivante $d$, de période 1, telle que $d(x)=Ex$ pour tout $x\in[0\pv 1[$.

\een




Rien de plus simple qu'un signal triangulaire\dots et pourtant, voici le circuit le produisant :

\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{/home/moi/Photos/Maths/oscillateur.eps}
\end{center}

\pagebreak


\exot{Fonctions causales}

Les fonctions causales sont très utilisées en électricité. Il s'agit tout simplement de fonctions nulles sur $]-\infty\pv 0]$. 

Pour les exprimez, on utilise la fonction de Heaviside qu'on multiplie par des fonctions usuelles. Représentez graphiquement les fonctions suivantes

\begin{nliste}{2}
\item $f_1~:~x\mapsto U(x)\sin x$
\item $f_2~:~x\mapsto U(x)\sin(x-\pi)$
\item $f_3~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin x$
\item $f_4~:~x\mapsto U(x-\pi)\sin(x-\pi)$



\end{nliste}

\begin{Idee}

\parpic{\includegraphics[height=6cm]{/home/moi/Photos/Maths/Oheaviside.ps} }\slshape Oliver Heaviside (18 mai 1850 - 3 février 1925) était un physicien britannique autodidacte.\\
Bien qu'il eût de bons résultats scolaires, il quitta l'école à l'age de seize ans et devint opérateur de télégraphe. Cependant il a continué à étudier et, en 1872, alors qu'il travaillait comme chef opérateur à Newcastle-upon-Tyne, il commença à publier ses résultats de recherche en électricité.
Il a formulé à nouveau et simplifié les équations de Maxwell sous leur forme actuelle utilisée en calcul vectoriel.\\
Entre 1880 et 1887 il développa le calcul opérationnel, une méthode pour résoudre des équations
différentielles en les transformant en des équations algébriques ordinaires ce qui lui valu beaucoup
de controverse lorsqu'il l'introduisit pour la première fois, du fait d'un manque de rigueur dans
l'utilisation de la dérivation.\\
En 1887, il suggéra que des bobines d'induction devraient être ajoutées au câble du téléphone transatlantique afin de corriger la distorsion dont il souffrait. Pour les raisons politiques, cela n'a pas été fait.\\
En 1902 il prédit l'existence de couches conductrices pour les ondes radio qui leur permettent de suivre la courbure de la terre; ces couches, situées dans l'ionosphère, sont appelées couches de Kennelly-Heaviside, du nom de Arthur Kennelly, physicien américain qui eut la même intuition que lui. Elles ont finalement été détectées en 1925 par Edward Appleton.\\
Il a développé aussi la fonction de Heaviside (aussi appelée échelon ou marche), utilisée communément dans l'étude de systèmes en automatique et il a étudié la propagation des courants électriques dans les conducteurs.\\
Des années plus tard son comportement devint, comment dire...,très excentrique~:~bref, il perdit un
peu la boule, comme souvent chez les physiciens.



\end{Idee}












\end{document}
