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\entete{Chapitre \theNumLecon - \NomLecon}{\sffamily\nouppercase{\rightmark}}{T\textsuperscript{ale}S5}%g,d,b
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\begin{document}
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\setcounter{NumLecon}{3}






\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{III}{Troisième}{}{D\'ERIVATION}{D\'ERIVATION}{Isaac.eps}




\begin{Abstract}
Après avoir découvert la notion de limite et son formalisme né au XIX\eme siècle, notre héros remonte le temps et se retrouve en eaux troubles, entre physique et mathématiques...

\end{Abstract}


\section{POURQUOI D\'ERIVER ?}

\subsection{L'Anglais et le Continent ou la bataille de la tangente}

\pro Nous allons aborder aujourd'hui une notion qui échauffa tant d'esprits qu'elle faillit déclencher une guerre. Replaçons-nous dans le contexte : nous sommes au XVII\eme siècle, Descartes, Pascal, Fermat, Huygens et d'autres tournent autour de la notion de tangente à une courbe et sentent que ce problème pourrait déboucher sur un bouleversement complet de la science.

\tsx Quelle tension ! Vite, la suite !

\pro Inspirés par ces aînés, Leibniz l'Allemand et Newton l'Anglais vont publier indépendamment l'un de l'autre \footnote{Vous savez, il était un temps où les hommes n'avaient pas l'ADSL} deux présentations de la dérivée d'une fonction et de son lien avec la tangente à une courbe. Pas entièrement rigoureux car ils utilisent la notion de limite un peu empiriquement sans la démontrer\footnote{Il faudra encore attendre deux siècles}, leurs travaux constituent la base de la notion de calcul infinitésimal  que vous étudiez au lycée. Qui fut le premier ? Quelle théorie est la meilleure ? Coups bas, insultes ont fusés de part et d'autre de la Mer du Nord pour répondre à ces questions.

\subsection{Newton et la vitesse}

\pro Mon petit Théhessin, pressé d'aller résoudre quelques exercices de maths, vous roulez un peu trop vite avec votre 309 custom et vous vous faites contrôler à 145 km/h rue du Château : s'agit-il d'une vitesse moyenne ou d'une vitesse instantannée~?

\tsx Ben instantannée : c'est la vitesse qu'avait la voiture au moment où le flash s'est déclenché.

\pro Mouais. Parlons d'abord de la vitesse moyenne : pour un mouvement rectiligne, c'est le rapport entre la différence des abscisses et le temps mis pour la parcourir 

$$V_{moy}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\fr{\text{distance parcourue}}{\text{temps écoulé}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

\tsx Pour la vitesse instantanée, il suffit de prendre un intervalle de temps $\Delta t$ extrêmement petit : malgré la puissance du moteur de ma 309, sa vitesse ne changera pas beaucoup en, disons, une milliseconde.

\pro Je vous l'accorde, mais  vous raisonnez comme un scientifique du XVII\eme siècle, ou comme un physicien. Vous dites 
$$V(t)\simeq \fr{x(t+\Delta t)-x(t)}{t+\Delta t-t}=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$
pour $\Delta t$ suffisamment petit. Mais depuis, les mathématiciens ont défini rigoureusement la notion de limite et ils préfèrent dire 
$$V(t)=\lim_{h\to0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$$

\MATA{Ouais, bon, c'est pareil}

\pro Je vous sens dubitatif, mais qu'est-ce que veut dire <<~petit~>> ? Avez-vous une définition valable ? Une milliseconde, c'est peu pour nous, mais c'est énorme pour un quark qui peut avoir une vie de $10^{-24}s$... En mathématiques, nous préférons la notion <<d'aussi petit que l'on veut~>> qui est plus rigoureuse.


\subsection{Leibniz et la tangente}

\pro Comme je vous le disais, le problème de la tangente intrigait les mathématiciens du XVII\eme. Fermat avait résolu le problème de la <<~touchante~>>  comme à son habitude, sur un cas particulier, de manière algébrique et au prix de pas mal de ce qui nous apparaît comme des tours de passe passe (je divise par $h$ et ensuite je suppose que $h=0$ mais ce genre de magouilles hante les traités actuels  de mathématiques financières...). Leibniz a eu le mérite d'introduire des notations et des formulations claires.

\tsx Mais qu'est-ce qu'une tangente ? On l'avait définie l'année dernière à l'aide des dérivées. 

\pro Une tangente, ou une << touchante >> comme disait Fermat, était définie au XVII\eme comme une <<~droite limite~>> qui ne <<~toucherait~>> la courbe localement qu'en un seul point\footnote{Aujourd'hui, la notion de  tangente n'est plus uniquement liée à une droite, mais se définit à partir d'une limite}. 

\tsx Je me souviens : on fait tourner des droites autour d'un point  
\des{limfonc.21}{5}

\pro Voilà, mais il faut être un peu plus précis pour comprendre l'intuition de Leibniz (et d'autres)

\des{limfonc.22}{6}

La pente de la droite $(AM_h)$ vaut 

 $$p_h=\fr{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{M_h}-y_A}{x_{M_h}-x_A}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

L'idée est alors que plus $h$ sera petit, plus la droite $(AM_h)$ se rapprochera de la tangente, et plus $p_h$ se rapprochera de la pente de la tangente. 

Pour nous, grands mathématiciens du XXI\eme siècle, il suffit donc de faire tendre $h$ vers 0 et de prendre la limite de $p_h$, si elle existe.

$$p=\lim_{h\to 0}\fr{f(a+h)-f(a)}{h}$$

\subsection{Avec XCAS}

Étudions sur un exemple ce que donne cette sécante un peu spéciale

\begin{lstlisting}
  f:=x->0.5*x^2:; // on étudie sur un exemple
  C:=plotfunc(f(x),x=-2.5..2.5,couleur=vert) // on trace la courbe
  P:=point(1,f(1),affichage=bleu);  // on considère un point quelconque de la courbe
  u:=element((-10) .. 10,1.0) // on considère un réel quelconque entre -10 et 10 
  D:=droite(y-f(1)=u*(x-1),affichage=bleu)  // quelle est cette droite ?
  T:=couleur(tangente(C,P),rouge+dash_line)  // XCAS sait tracer la tangente
  size(inter(D,C)) // en combien de points D coupe-t-elle C ?
\end{lstlisting}



\subsection{Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction en un point ?}

\pro Les deux problèmes que nous venons de voir, ceux de la
vitesse instantanée et de la tangente, vous ont convaincu,
j'espère, de l'importance fondamentale en mathématiques et en
physique de la limite du taux d'accroissement d'une fonction. Il
fallait absolument lui donner un nom.


\begin{Defi}

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de
$\bbr$, et soit $a$ un élément $I$.

On dit que \textbf{\mg$f$ est dérivable en $a$} lorsque le taux
d'accroissement $\ds\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie
quand $x$ tend vers $a$. Cette limite est alors appelée
\textbf{\mg dérivée de $f$ en $a$}, et est notée $f'(a)$ :
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$
ou encore $$f'(a)=\ds\lim_{h\to 0}\fr{f(a+h)-f(a)}{h}$$

\end{Defi}


Ainsi, la vitesse instantanée $V(t)$ n'est autre que $x'(t)$, la
dérivée en $t$ de la fonction position $x$. Et la pente de la
tangente à la courbe d'équation $y=f(x)$ au point d'abscisse $a$
est égale à $f'(a)$, la dérivée de $f$ en $a$.





\begin{Idee}{ D'où vient la notation $\fr{\text{d}y}{\text{d}x}$~?}

En physique, vous employez plus volontiers la notation $\fr{\text{d}y}{\text{d}x}$ alors qu'en mathématiques, nous privilégions la notation $y'(x)$.

D'une part, l'une  est due à Leibniz, l'autre  à Lagrange. D'autre part,
la première  est liée à la figure  précédente : la pente  de la tangente
ressemble  à $\fr{\Delta  y}{\Delta x}$  quand ces  grandeurs deviennent
infiniment petites. Devenu infiniment petit, le $\Delta$ devient d et la
pente  devient   donc  d$y$/d$x$.   C'est  une  vision   intuitive,  qui
<<~marche~>>  pour  les  fonctions  de  $\bbr$ dans  $\bbr$,  mais  trop
restrictive pour  le mathématicien qui  est amené à travailler  avec des
fonctions  vectorielles   dans  des  espaces   de  dimension  quelconque
(!). Pour le  mathématicien, d$y$ est alors une  fonction de $\bbr$ dans
l'ensemble  des  fonctions  linéaires   de  l'ensemble  de  départ  dans
l'ensemble d'arrivée, et le d$y$  du physicien sera plutôt d$y_x(h)$, if
you see what I mean...


 
\end{Idee}


\subsection{Comment calculer la dérivée d'une fonction en $a$~?}

\tsx Ben vous venez de le dire, avec un calcul de limite.

\pro Ah bé dame, c'est sûr. Y a plus qu'à s'y mettre. Considérez la fonction $\fonc{f}{\bbr}{[0,+\infty[}{x^2}$

Calculez $f'(a)$ pour tout réel $a$.

\tsx Et bien $$p_h=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}$$
En développant $(a+h)^2$ , on a
$$p_h=\fr{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h$$
et on en déduit que la dérivée de $f$ existe pour tout réel $a$ et vaut
$$f'(a)=\lim_{h\to0}p_h=2a$$

Incroyable ! On retrouve la formule.

\pro On peut même s'occuper de la fonction inverse, de la dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une composée : je vous laisse vous en occuper à titre d'exercice... 




\subsection{Une fonction continue en $a$ est-elle dérivable en $a$ et vice versa ?}

\pro Les travaux de Newton, Leibniz \& Co utilisaient des fonctions qui étaient implicitement continues, mais on peut se demander si une fonction dérivable en $a$ est forcément continue en $a$ et ziozerouairaounede.

\tsx Je sens comme eux que si la fonction n'est pas continue en $a$, on va avoir du mal à tracer une tangente. Je suppose que vous voulez un contre-exemple...disons, la fonction signe $$\fonc{\text{signe}}{\bbr}{\bbr}{\begin{cases}
1&\text{si\ }x\se0,\\
-1&\text{si\ }x<0.
\end{cases}}$$

Cette fonction n'est pas continue en 0, et le taux d'accroissement
$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\begin{cases}
1/x&\text{si\ }x>0,\\
-1/x&\text{si\ }x<0,
\end{cases}$$
n'a pas de limite ni à gauche, ni à droite de zéro.

\pro Il semblerait donc que si $f$ n'est pas continue en $a$,
alors $f$ n'est pas dérivable en $a$. Ce qui reviendrait à dire avec un brin de logique\footnote{Il revient au même de dire <<~A implique B~>> et <<~contraire de B implique contraire de A~>>. \`A méditer...} 
que la dérivabilité en $a$ entraîne la continuité en $a$.
\sm

Supposons donc 
que $f$ soit dérivable en $a$, alors $\ds\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie qu'on  note $f'(a)$. Pour prouver que $f$ est continue en $a$, il faut prouver que $\Lim{a}f(x)=f(a)$. 

Nous connaissons $\tau_a(x)$, nous cherchons $f(x)$, nous allons donc exprimer $f(x)$ en fonction de $\tau_a(x)$.

On obtient, pour tout $x\neq a$ $$f(x)=f(a)+(x-a)\tau_a(x)$$

Or $\Lim{a}\tau_a(x)=f'(a)$ et $\Lim{a}(x-a)=0$, donc $\Lim{a}(x-a)\tau_a(x)=0$ par produit et finalement, par somme des limites on a 
$$\Lim{a}f(x)=f(a)$$

\begin{Pro}{\bf Continuité des fonctions dérivables}

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$

\end{Pro}


Maintenant, que pensez-vous de la réciproque ?

\tsx Est-ce qu'une fonction continue en $a$ est dérivable en $a$ ? Je pense que non, sinon il ne servait à rien d'inventer la dérivabilité. 

\pro Je vais vous proposer un contre exemple qui répondra aussi à la question suivante :

\subsection{Comment interpréter graphiquement la non-dérivabilité de $f$ en $a$ ?}

\pro Comme pour la continuité, la dérivabilité est liée à l'existence d'une limite. Trois cas sont donc à étudier.


\subsubsection{Le taux de variation admet une limite à gauche et une limite à droite distinctes}

\pro Voici une fonction qui illustre notre propos et qui sert en même temps de contre-exemple à la question du paragraphe précédent

$$\fonc{f}{\bbr}{\bbr}{\ab{x(x-2)}}$$

et observons la configuration en aile de mouette :

\des{limfonc.23}{3.5}

\'Etudiez la dérivabilité de $f$ en 0.

\tsx Il suffit d'étudier le taux de variation 

$$\tau_0(x)=\fr{f(x)-f(0)}{x-0}=\fr{\ab{x(x-2)}}{x}=\begin{cases} x-2 \ \text{ si }x>0\\ 2-x \ \text{ si } x<0\end{cases}$$

Donc $\limg{0}\tau_0(x)=-2$ et $\limd{0}\tau_0(x)=2$ : le taux de variation n'admet pas de limite en 0, donc $f$ n'est pas dérivable en 0.

\pro C'est parfait ! Mais le fait que des limites existent à gauche et à droite nous permet de dire que $f$ admet \textbf{ une dérivée à gauche et une dérivée à droite} en 0. Ces dérivées sont les pentes des \textbf{demi-tangentes} en 0.

\subsubsection{Le taux de variation admet une limite infinie en $a$}


\pro Cette fois-ci, étudions la fonction bien connue $$\fonc{f}{\left[\frac{1}{2}\pv +\infty\right[}{\bbr}{\sqrt{x-\fr{1}{2}}}$$

\des{limfonc.241}{4} 

\tsx J'étudie le taux de variation en 1/2

$$\tau_{1/2}=\fr{f(x)-f(1/2)}{x-1/2}=\fr{\sqrt{x-1/2}}{x-1/2}=\fr{1}{\sqrt{x-1/2}}$$

Donc $\Lim{1/2}\tau_{1/2}(x)=+\infty$ et là encore la fonction n'est pas dérivable en 1/2.

\pro C'est du bon boulot. J'ajouterai juste que dans ce cas, la courbe admet au point d'abscisse 1/2 une tangente verticale : la pente tend en effet vers l'infini.


\subsubsection{La taux de variation n'admet pas de limite en $a$}

\pro Pour ce cas plus pathologique, nous n'avons pas de contre-exemple à notre portée : il faudrait trouver une fonction continue en $a$ mais dont le taux n'admette pas de limite en $a$. Mais ces fonctions existent\footnote{Vous pourrez regarder l'exposé de Denis \textsc{Choimet} sur la dérivabilité de la fonction de Riemann $\ds x\mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\fr{\sin n^2x}{n^2}$ à l'adresse \texttt{http://denis.choimet.free.fr/exposes/riemann.pdf}} . Vous montrerez même peut-être un jour que <<~la plupart~>> des fonctions continues sur $\bbr$ ne sont dérivables nulle part, mais ceci est une autre histoire...



\begin{Pro}{\bf Limite du taux de variation et tangente}

 Pour résumer, en appelant $\tau_a(x)=\fr{f(x)-f(a)}{x-a}$,
\bez

\item si $\Lim{a}\tau_a(x)=\ell$, $\CR_f$ admet la droite de pente $a$ et passant par le point de coordonnées $(a,f(a))$ comme tangente au point d'abscisse $a$. Une équation de la tangente est donc $$y=(x-a)f'(a)+f(a)$$

\item si $\limg{a}\tau_a(x)\neq\limd{a}\tau_a(x)$, $\CR_f$ admet deux demi-tangentes de pentes les limites à gauche et à droite de $\tau_a(x)$ au point d'adscisse $a$;

\item si $\Lim{a}\tau_a(x)=\infty$, $\CR_f$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $a$
\ez

\end{Pro}


\subsection{L'idée fondamentale du calcul différentiel : l'approximation locale des fonctions par des fonctions affines}

\pro \`A l'aide du dessin ci-dessous, essayons d'estimer l'erreur faite en remplaçant $\CR_f$ par $\TR$ localement au voisinage de $a$

\des{limfonc.24}{5}

Pour un $x$ donné, l'erreur vaut

$$e(x)=f(x)-\big(f(a)+(x-a)f'(a)\big)$$
puisque vous connaissez une équation de la tangente $\TR$. 

Maintenant, abordons une notion que Leibniz n'avait pas su rigoureusement traiter. On <<~sent~>> que plus $x$ va se rapprocher de $a$, plus $e(x)$ sera <<~petit~>>, mais comment définir ce terme ? Vous vous doutez qu'une fourmi est <<~petite~>> par rapport au système solaire mais <<~grande~>> par rapport à un quark, donc la notion de $e(x)$ devient petit ne peut nous satisfaire. Alors observons.

En ré-écrivant la relation, on obtient  $$f(x)=\underbrace{f(a)}_{\text{constante}}+\underbrace{(x-a)\times f'(a)}_{\text{de l'ordre de }x-a}+e(x)$$

Il faudrait donc connaître l'ordre de $e(x)$ par rapport à $(x-a)$. Pour cela on étudie leur rapport

$$\Lim{a}\fr{e(x)}{(x-a)}=\Lim{a}\pa{\fr{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}=0$$

d'après la définition de $f'(a)$ puisqu'on suppose que  $f$ est dérivable en $a$. Donc l'erreur $e(x)$ est <<~petite~>> ou <<~négligeable~>> devant $x-a$. On peut alors écrire 


\begin{Pro}{\bf Approximation locale d'une courbe par sa tangente}\label{approx}


 Au voisinage de d'un nombre $a$ où $f$ est dérivable, $$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)e(x)\quad
 \text{avec}  \ \Lim{a}e(x)=0$$ 


\end{Pro}


 On pourra retenir une formulation mnémotechnique mais peu rigoureuse  $$f(x)\ese{a}f(a)+(x-a)f'(a)$$


\sm

On peut donc localement approcher une fonction dérivable par une fonction affine, ce qui peut pas mal nous simplifier la vie pour étudier son comportement ou la modéliser.

\sm

Considérons par exemple la fonction $\fonc{f}{[-1,+\infty[}{\bbr^+}{\sqrt{x+1}}$ et étudions la au voisinage de 0. On obtient facilement $f(0)=1$ et $f'(0)=1/2$, donc

$$\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}+xe(x)\quad \text{avec}  \ \Lim{0}e(x)=0$$

Vérifions par le calcul

$$
\begin{array}{rcl}
\sqrt{1+1/1000}&\simeq&1,000499875\\
1+{1}/{2000}&=&1,0005
\end{array}$$

Donc l'erreur commise est de l'ordre de $1,25\times 10^{-7}$, c'est à dire vraiment négligeable devant $x$ qui vaut $10^{-3}$. 

\sm

Cette propriété inspira Euler qui s'en servi pour obtenir un tracé approximatif de solutions d'équations différentielles comme nous le verrons bientôt.


\section{D\'ERIV\'EE ET VARIATIONS DES FONCTIONS}


\subsection{Qu'est-ce qu'une fonction dérivable sur un intervalle ?}


\pro C'est bien sûr une fonction qui est dérivable en chacun des points de l'intervalle. On peut alors associer à $f$ une fonction dérivée, qu'on note habituellement $f'$, et qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x$.

On a bien sûr les mêmes théorèmes généraux sur les combinaisons de fonctions dérivables que pour les fonctions continues, car c'est encore un problème de limites.

 
\subsection{Quel est le signe de la dérivée d'une fonction croissante sur une partie de $\bbr$ ?}

\pro Je vous rappelle la définition d'une fonction croissante sur une partie $D$ 


\begin{Defi}{\bf Fonction croissante sur une partie $D$}

 Une fonction $f$ définie sur une partie $D$ de $\bbr$
à valeurs dans $\bbr$ est \textbf{croissante} lorsque
$$\text{pour tout couple }(x,y)\in D^2\ \ x<y\Longrightarrow f(x)\ie
f(y)$$

\end{Defi}

Il est facile de voir que c'est équivalent à
$$\text{pour tout couple }(x,y)\in D^2\ \ x\neq y\Longrightarrow \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\se0,$$
ou encore au fait que tous les taux d'accroissements sont positifs
ou nuls.

 Donc, par un simple passage à la limite, on en déduit que
si $f$ est croissante et dérivable, alors $f'$ est positive. Et de
même, si $f$ est décroissante et dérivable, alors $f'$ est
négative.

\subsection{Une fonction dont la dérivée est négative est-elle décroissante ?}

\tsx C'est ce qu'on vient de dire !

\pro Attention brave Téhessin ! Nous venons de montrer qu'une fonction croissante sur $D$ a une dérivée positive sur $D$. Le problème qui nous occupe maintenant est la réciproque.

\tsx Ben c'est pareil : si par exemple, $f$ est dérivable et $f'$ toujours négative, alors les tangentes au graphe de $f$ ont toutes une pente négative. On
doit pouvoir en déduire que $f$ est décroissante.

\des{limfonc.25}{4}

\pro \c Ca peut être bon, mais vous oubliez un détail : il va falloir regarder l'ensemble $D$ sur lequel on travaille de plus près. Par exemple, la fonction inverse $\fonc{f}{\bbr^*}{\bbr}{1/x}$ a une dérivée $-1/x^2$ toujours négative mais elle n'est pas décroissante sur $\bbr^*$ puisque $\fr{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}>0$

\tsx C'est encore une histoire d'intervalle...

\pro Effectivement ! Une nouvelle fois, retenez bien qu'il est extrêmement important de savoir sur quel ensemble on travaille  : pour une même fonction, une propriété vraie sur un ensemble peut être fausse sur un autre.

Pour le cas qui nous intéresse, il nous est impossible à notre niveau de prouver que sur un intervalle notre proposition devient vraie. Nous l'admettrons donc.

\MATA{\c Ca fait toujours une question de cours en moins...}


\pro 
Et comme une fonction est constante si et seulement si elle est à
la fois croissante et décroissante, on en déduit que $f$ est
constante si et seulement si $f'=0$. On peut donc énoncer ce
théorème fondamental.

\begin{The}{\bf Sens de variation et signe de la dérivée}


 Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une fonction
dérivable de $I$ vers $\bbr$. Alors
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f$ est croissante si et seulement si $f'\se0$.
\item[$\bullet$] $f$ est décroissante si et seulement si $f'\ie0$.
\item[$\bullet$] $f$ est constante si et seulement si $f'=0$.
\end{itemize}

\end{The}



\subsection{Comment montrer qu'une fonction est strictement croissante ?}

\tsx D'après ce que vous m'avez dit, il faudra s'intéresser au cas où la fonction est dérivable sur un intervalle $I$. Maintenant, je suppose qu'il faut que la dérivée soit strictement positive.

\pro Ici encore, faites attention aux mots que vous employez. D'abord, rappelons la définition 


\begin{Defi}{\bf Fonction strictement  croissante sur une partie $D$}


 Une fonction $f$ définie sur une partie $D$ de $\bbr$
à valeurs dans $\bbr$ est \textbf{ strictement croissante} lorsque
$$\text{pour tout couple }(x,y)\in D^2\ \ x<y\Longrightarrow f(x)<
f(y)$$

\end{Defi}


On comprend bien qu'il SUFFIT que la dérivée soit strictement croissante pour que ça marche. Mais ce n'est pas N\'ECESSAIRE. Considérez en effet la fonction cube qui est strictement croissante sur $\bbr$ et pouratnt sa dérivée s'annule en 0.

\tsx Bon, ben je propose : $f$ positive, ne s'annulant qu'en un nombre fini de points.

\pro C'est suffisant mais ce n'est toujours pas nécessaire comme on le voit sur le dessin suivant 

\des{limfonc.26}{4}

\tsx Pffff...Ouais, bon, allez-y, étalez votre science.

\pro Ne le prenez pas mal ! Voici le résultat 

\begin{The}{\bf Fonction strictement croissante sur un intervalle}


 Soit $I$ un intervalle de $\bbr$ et $f$ une fonction
dérivable de $I$ vers $\bbr$. Alors $f$ est strictement croissante
équivaut à :
 $f'$ est positive ou nulle et il n'existe pas de segment $[a,b]$ de $I$
avec $a<b$ tel que $f'(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$. 


\end{The}

En effet, si $f$ est strictement croissante, alors elle est
croissante et donc $f'$ est positive, et d'autre part, $f'$ ne
peut pas être  nulle en tous les points d'un segment $[a,b]$ avec
$a<b$ car sinon, $f$ serait constante sur $[a,b]$.

\sm

Réciproquement, supposons les conditions sur $f'$ vérifiées et
montrons que $f$ est strictement croissante. On se donne deux
éléments $x$ et $y$ de $I$ tels que $x<y$. Alors d'une part
$f(x)\ie f(y)$ car $f$ est croissante puisque $f'\se0$. Et d'autre
part,
 l'égalité $f(x)=f(y)$
entraînerait que $f$ est constante sur $[x,y]$ compte tenu de la
croissance de $f$, ce qui ne serait possible que si $f'$ était
nulle sur $[x,y]$. 

\subsection{\`A quoi sert la stricte monotonie d'une fonction ?}

\pro Rappelez-vous du théorème de la solution unique qu'on appelle aussi théorème de la bijection.  Pour l'utiliser, il faut être sûr que notre fonction est strictement monotone. Il faut donc pouvoir le vérifier. 

Au Bac, il suffira de vérifier sur notre tableau de variation que la <<~ flèche~>> ne change pas de direction.

 \pagebreak

\begin{Idee}{ Pour les curieux : qu'est-ce qu'une bijection ?}

On appelle bijection une application de I sur J telle que tout élément de I admette une image et une seule dans J et que tout elément de J admette un antécédent et un seul dans I. La première partie renvoie à une fonction, la deuxième au théorème de la solution unique.

\sm 

Quand tout l'ensemble d'arrivée est décrit par les images (quand f(I)=J), on dit que $f$ est \textit{ surjective}.

Quand un élément de l'ensemble d'arrivée n'admet qu'un antécédent dans l'ensemble de
départ, on dit que $f$ est \textit{injective}. On le vérifie en montrant que
$f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y$.  

 

\end{Idee}



\subsection{Dérivée de fonctions composées}

\pro Comment dériver la fonction $h~:~ x\mapsto \sqrt{1+ x^2}$ définie sur $\bbr$ ? 

\tsx ???? Cela dépasse mes capacités !

\pro Ne soyez pas si modeste. Considérons une fonction $g$ dérivable en $x_0$ et une fonction $f$ dérivable en $g(x_0)$ qu'on notera $g(x_0)=y_0$.

Alors par définition, les taux $\fr{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}$ et $\fr{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$ admettent tous deux une limite finie quand $y$ tend vers $y_0$ et quand $x$ tend vers $x_0$.

Or $g$ est dérivable en $x_0$, donc en particulier elle y est continue, donc $\Lim{x_0}g(x)=g(x_0)=y_0$

Si $g$ est constante au voisinage de $x_0$, la dérivée de la composée est
toute trouvée. 

Sinon,  par composition des limites, le taux $\fr{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{x-x_0}=\fr{f[g(x)]-f[g(x_0)]}{g(x)-g(x_0)}\times\fr{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$ 
 tend  vers une limite finie quand $x$ tend vers $x_0$

Finalement $\Lim{x_0}\fr{f\circ g(x)-f\circ g(x_0)}{x-x_0}=f'\big(g(x_0)\big)\times g'(x_0)$, d'où le théorème


\begin{The}{\bf Dérivée d'une composée}


Si $g$ est dérivable en $x_0$ et $f$ dérivable en $g(x_0)$ alors la fonction composée
$f\circ g$ est dérivable en $x_0$ et $$(f\circ g)'(x_0)=f'\big(g(x_0)\big)\times g'(x_0)$$

\end{The}


Appliquez cette formule à notre exemple.

\tsx Ici, $h$ est dérivable sur $\bbr$ car $1+x^2$ est strictement positif sur $\bbr$. Avec $f(X)=\sqrt{X}$ et $g(x)=1+x^2$, on obtient $f'(X)=\fr{1}{2\sqrt{X}}$ et $g'(x)=2x$, donc 
$$h'(x)=\fr{1}{2\sqrt{1+x^2}}\times 2x$$

\pro En fait, on dérive comme si $g(x)$ était une variable et on multiplie par la dérivée de <<~l'intérieur~>>.

On obtient comme ça tout un tas de formules rappelées dans le tableau de fin de chapitre.

\subsection{Peut-on étudier les variations d'une fonction sans calculer sa dérivée ?}

\pro Grâce au théorème précédent, je réponds oui à la question précédente. En effet, si $f$ et $g$ sont dérivables là où il faut, $(f\circ g)'$ sera du signe du produit des dérivées de $f$ et $g$. Donc

\begin{The}{\bf Sens de variation d'une composée}

Si $g$ est dérivable sur $I$ et $f$ dérivable sur $g(I)$, alors \bel

\item La composée de deux fonctions croissantes est croissante
\item La composée de deux fonctions décroissante est croissante
\item la composée d'une fonction, croissante et d'une fonction décroissante est décroissante
\el

\end{The}

\tsx C'est comme la règle des signes !

\pro Bien sûr puisque ça en découle !

Par exemple, pour la fonction

$$f:\bbr\to\bbr,\,x\mapsto\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}$$

La fonction $x\mapsto x^2$ est décroissante sur $\bbr^-$ et
croissante sur $\bbr^+$. Donc comme la fonction
$t\mapsto\sqrt{1+t}$ est croissante, $f$ est décroissante sur
$\bbr^-$ et croissante sur $\bbr^+$. On a juste utilisé que la
composée de deux fonctions croissantes est croissante, et que la
composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante
est décroissante.

\pagebreak



\section{TABLEAU R\'ECAPITULATIF DES D\'ERIV\'EES}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|b{5cm}|c|}
\hline
&&\\
\textbf{$f(x)=$}& \textbf{$f'(x)=      $\hspace{5cm}}& \textbf{intervalle de validit\'e}\\
&&\\
\hline &&\\ $a\in \R$&&\\
\hline &&\\ $x^n$ pour $n\in \bbn$&&\\

&&\\ \hline &&\\
$\frac{1}{x^n}$ pour $n\in \bbn$&&\\
&&\\ \hline &&\\
$\sqrt{x}$&&\\&&\\
\hline  &&\\ $x^\alpha $, $\alpha \in \bbq$&&\\ &&\\ \hline &&\\
$\cos x$&&\\ &&\\ \hline &&\\ $\sin x$&&\\
&&\\ \hline &&\\ $\tan x$&&\\&&\\ \hline
 &&\\$u+v$&&\\&&\\ \hline
 &&\\$\lambda u, \ \ \lambda \in\bbr$&&\\&&\\ \hline
 &&\\$uv$&&\\&&\\ \hline
 &&\\$\fr{u}{v}$&&\\&&\\ \hline
 &&\\$u\circ v$&&\\&&\\ \hline



\end{tabular}
\end{center}





\section{EXERCICES}


\exot{Une preuve de la divergence de certaines suites
géométrique} \been \item Montrez que, pour tout réel positif $x$
et tout entier naturel non nul $n$, on a
$$(1+x)^n\se 1+nx$$

\jok{déterminez le signe de $(1+x)^n-1-nx$ en étudiant une
fonction.}

\item Que peut-on en déduire concernant les suites géométriques~?

\een

\exot{\'Etude d'une fonction irrationnelle avec problème de
dérivabilité en un point.}

\'Etudiez et représentez graphiquement la fonction
$$f~: \ x\to \fr{2}{5}\sqrt{25-x^2}$$

\jok{ pour la dérivabilité en 5, utilisez la limite du taux
d'accroissement.}

\exot{\'Etude d'une fonction trigonométrique.}

\'Etudiez et représentez graphiquement la fonction
$$f~: \ x\to \tan x=\fr{\sin x}{\cos x}$$



\jok{ commencez par régler les problèmes de définition, de
périodicité et de parité.}

\exot{Dans l'esprit du Bac...}

On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
$f(x)=\fr{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\CR$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. \been \item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$. \been \item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\bbr$ une unique
solution $\al$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. \jok{emploi classique du théorème de la bijection.}
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \een
\item \been \item \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. \item Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
variation de $f$. \een

\item \been \item Montrez qu'il existe quatre réels $a,\ b,\ c$,
et $d$ tels que
$$f(x)=ax+b+\fr{cx+d}{x^2+1}$$
\item Déduisez en que $(\CR)$ admet une asymptote oblique $\Delta$
et étudiez la position de $(\CR)$ par rapport à $\Delta$.

Vérifiez en particulier que $(\CR)$ rencontre $\Delta$ en un
unique point $\Delta$. \een \item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $(\CR)$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta$. \jok{ deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...} \item \been \item Vérifiez que $f(\al)=3\al/2$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\al)$. \jok{utilisez le
fait que $g(\al)=0$.} \item Tracez $\Delta$, $(\CR)$ ainsi que les
points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points. \een \een


\exot{Résolution analytique d'un problème géométrique.
Extremum d'une fonction.}

Un triangle $ABC$ isocèle, de sommet principal $A$, est inscrit
dans un cercle de centre $O$ et de rayon 1. $H$ est le pied de la
hauteur issue de $A$. On note $\al$ la mesure en radian de l'angle
$\widehat{HOC}$. On suppose enfin que $0\ie\al\ie\pi/2$. \been
\item \been \item Exprimez $BC$ et $AH$ en fonction de $\al$.
\jok{sinopphyp cosadjhyp} \item En déduire, en fonction de $\al$,
l'aire du triangle $ABC$. \een \item On considère la fonction $f$
définie sur $[0,\pi/2]$ par
$$f(\al)=\sin\al(1+\cos\al)$$
Calculez la dérivée $f'$ de $f$ et prouvez que, pour tout réel
$\al$ de $[0,\pi/2]$, on a $f'(\al)=2\cos^2\al+\cos\al-1$
\item\been \item Factorisez le polynôme $2X^2+X-1$ et en déduire
une factorisation de $f'(\al)$ \item Dressez alors le tableau de
variations de $f$. \een \item Démontrez qu'il existe une valeur de
$\al$, que vous déterminerez, pour laquelle l'aire du triangle
$ABC$ est maximale. Précisez ce maximum. Quelle est alors la
nature du triangle $ABC$~? \een

\exot{Problème d'optimisation~: les dents de la mer XXXII}

Albert est un fervent adepte de la plongée sous-marine. Alors qu'il se trouve en $A$ et s'émerveille devant la beauté du paysage
aquatique, il aperçoit au loin un requin d'une taille qui le dissuade de poursuivre plus avant son exploration des fonds marins et décide
de rejoindre son bateau situé en $B$. À quel endroit doit-il rejoindre la surface pour que le temps de parcours soit minimal~?

\des{limfonc.27}{4}

Grâce à l'adrénaline secrétée par la portion médullaire de ses
glandes surrénales, Albert se déplace à la vitesse de
$7,2\,km.h^{-1}$ sous l'eau et à la vitesse de $9\,km.h^{-1}$ en
surface. On supposera que la surface de l'eau est rectiligne, que
la dérive due au courant est nulle et que la trjectoire d'Albert
est une ligne brisée.



\exot{Une fonction avec valeur absolue}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$$f(x)=\sqrt{|x^2+4x-5|}$$
Soit $\CR_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $\ouv$.

\been

\item \'Ecrivez $f(x)$ sans utiliser de valeur absolue.
\item Montrez que $\CR_f$ admet la droite d'équation $x=-2$ comme
axe de symétrie. Que peut-on en déduire sur le domaine d'étude de $f$.
\item \'Etudiez les variations de $f$ là où elle est dérivable.
\item \'Etudiez la dérivabilité de $f$ en 1. Interprétez
graphiquement.
\item Calculez $\Lim{+\infty}\fr{f(x)}{x}$ puis
$\Lim{+\infty}f(x)-x$. Interprétez graphiquement.
\item Tracez $\CR_f$. Vous prendrez 1cm comme unité en abscisse et
2cm en ordonnées. Vous prendrez soin de tracer les tangentes remarquables.

\een




\exot{\'Equations fonctionnelles}

Une équation fonctionnelle est une équation dont l'inconnue est une fonction.  Nous en étudierons bientôt deux exemplaires en cours~:

$$f(x+y)=f(x)\times f(y)\qquad \text{et}\qquad f(xy)=f(x)+f(y)$$



 Pour l'heure, nous allons nous contenter de rechercher  les fonctions définies sur $\bbr$ vérifiant pour tous réels $x$ et $y$~:

                                $$ f(x+y)=f(x)+f(y)$$

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip

PARTIE A

\medskip
\been

\item Montrez que pour tout entier naturel $n$, $f(n)=n\times f(1)$


\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.

\item Déduisez-en que pour tout rationnel $r$, $f(r)=r\times f(1)$

\een

\bigskip

PARTIE B

\medskip

On suppose que $f$ est dérivable en 0 et que $f'(0)=a$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\bbr$ par $g(x)=f(x)/x$ pour $x\neq0$ et $g(0)=a$.

\been

\item Calculez $f(0)$.

\item Montrez que $g$ est continue en 0.

\item Montrez que $g(2x)=g(x)$ pour tout réel $x$.

\item Déduisez-en que $g(x)=g(x/2^n)$ pour tout réel $x$ et tout
entier naturel $n$.

\item Déduisez-en que $g$ est une fonction constante.\env{Où on
utilise enfin un théorème oublié du cours sur la continuité}

\item Déduisez-en une expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ en
fonction de $a$.

\item Réciproquement, vérifiez que les fonctions trouvées à la
question 5) sont solutions du problème. Concluez. Comparez avec les résultats de la partie A.

\een






\exot{Paramètres}

 On munit le plan d'un repère orthonormé.

\been

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par

$$f(x)=x-2\sqrt{x}+1$$

et $(\CR)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé.

\been \item \'Etudiez les variations de $f$. \item Démontrez que pour tout $x\in[0,1]$
$$(f\circ f)(x)=x$$

\item Construisez la courbe $(\CR)$. \een

\item On considère les points $A_k$ de coordonnées ($k$+1/2, 0) et
$B_k$ de coordonnées (0, $1/2-k$) où $k$ est un paramètre réel de l'intervalle $[-1/2, 1/2]$ .

On note $D_k$ la droite déterminée par les points $A_k$ et $B_k$. \been \item Déterminez une équation de $D_k$ sous la forme
$a(k)x+b(k)y+c(k)=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois fonctions dérivables de la variable $k$ que l'on déterminera.

\item Soit $D'_k$ la droite d'équation $a'(k)x+b'(k)y+c'(k)=0$ où
$a'$, $b'$ et $c'$ désignent les fonctions dérivées respectives de $a$, $b$ et $c$.

Vérifiez que, pour toute valeur de $k$ dans $[-1/2, 1/2]$, les droites $D_k$ et $D'_k$ sont sécantes en un point $M_k$.

Démontrez que les coordonnées de $M_k$ sont
$$x_k=(1/2+k)^2\qquad y_k=(1/2-k)^2$$

\item Démontrez que, lorsque $k$ décrit l'intervalle $[-1/2,1/2]$,
le point $M_k$ décrit la courbe $(\CR)$. \een \een



\exot{Décolage d'une fusée}
 Un cosmonaute projette d'observer deux étoiles voisines, Alpha et Bêta, mais pas trop près, car, en raison de leurs masses, elles
exercent une force d'attraction très importante. Aussi, le cosmonaute doit-il disposer d'assez de carburant, i.e. d'énergie, pour pouvoir
s'en éloigner à la fin de sa mission, sinon il resterait à jamais prisonnier d'une de ces étoiles.

La distance entre Alpha et Bêta est de cinq unités spatiales, leurs masses respectives sont de quatre et neuf unités de masse.

On repère Alpha par A, Bêta par B et un point M de la droite (AB) par son abscisse $x$ dans le repère (A,I), I étant le point de $[$AB$]$
tel que AI mesure une unité spatiale.

On sait que pour tout point M de la droite (AB), l'énergie $E$
 (énergie potentielle de gravitation) nécessaire pour quitter
 cette position et s'éloigner à une grande distance est donnée par
 la formule
 $$E(x)=\fr{4}{|x|}+\fr{9}{|x-5|}$$

 \been
 \item \'Etudiez la fonction $E$ sur $]0,5[$.
 \item Démontrez que, sur l'intervalle $]0,5[$, la fonction $E$
 admet un minimum, que vous déterminerez

 \bel
 \item en utilisant les variations de $E$
 \item par une méthode algébrique

 \el

 Quelle conclusion peut en tirer le cosmonaute ?

 \item Déterminez les points du segment [AB] d'où le cosmonaute peut
 repartir s'il dispose de 10 unités d'énergie.

 \een

\exot{\'Etude de $x\mapsto x+\sin x$}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par $$f~:\ x\mapsto x+\sin x$$

\been
\item La fonction $f$ est-elle paire~? impaire~? périodique~?
\item \'Etudiez le sens de variation de $f$.
\item Résolvez dans $\bbr$ l'équation $f'(x)=0$. Interprétez
graphiquement.
\item Montrez qu'on peut encadrer $f$ par deux fonctions affines.
\item Calculez la limite de $f$ en $+\infty$.
\item \'Etudiez les points d'intersection de la courbe avec les
droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ d'équations respectives $y=x$, $y=x+1$ et $y=x-1$.
\item Montrez que si $f$ admet la droite $D$ d'équation $y=ax+b$
 comme asymptote au voisinage de $+\infty$, alors
 $\Lim{+\infty}\fr{f(x)}{x}$ existe et vaut $a$ et que
 $\Lim{+\infty}f(x)-ax$ existe et vaut $b$.
 \item Calculez $\Lim{+\infty}\fr{f(x)}{x}$ puis étudiez le
 comportement de $f(x)-x$ au voisinage de $+\infty$. Interprétez
 graphiquement.
\item Représentez graphiquement $f$ sur $[0,3\pi]$ (1 unité $\mapsto$ 2cm en ordonnée et $\pi$ unités $\mapsto$ 4cm en abscisse). Vous
représenterez les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$, la tangente à l'origine, les tangentes horizontales.

\een



\exot{Limite et taux de variation}
 Calculez $\Lim{0}\fr{\sqrt{x+32}-\sqrt{32}}{x}$ en utilisant un taux de variation. Proposez ensuite une autre méthode.


\exot{Vrai ou faux de concours}
 Répondez par VRAI  ou FAUX aux propositions suivantes en justifiant \textit{brièvement}.

\sm

Soit $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par $$f~:\ x\mapsto \fr{x}{|x|+1}$$

\been
\item $f$ est impaire.
%\item $f$ admet une limite en 0.
\item $f$ est dérivable en 0.
%\item La droite d'équation $y=1$ est asymptote à $\CR_f$.
\item La droite d'équation $y=-1$ est asymptote à $\CR_f$.
\een



\exot{Fonction lipschitzienne}

Montrez que la fonction sin est 1-lipschitzienne, c'est à dire qu'elle vérifie pour tous réels $x$ et $y$ $$\ab{\sin x-\sin
y}\ie\ab{x-y}$$

\jok{Montrez que $|\sin t|\ie |t|$ et utilisez une bonne formule trigo}



\exot{Taux moyen de variation} Soit $a\in\bbr$ et $f:\bbr\to\bbr$. \been
\item \m si $f$ est dérivable en $a$, alors
$\ds\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$ existe et est finie.
\item La réciproque est-elle vraie ?
\een


\exot{Problème de dérivabilité} La fonction $f~:[0,+\infty[\rightarrow\bbr,\, x\mapsto \cos(\sqrt{x})$ est-elle d\'erivable en 0 ?

\jok{$\cos(2x) -1=-2\sin^2(x)$ et $\Lim{0}(\sin x)/x=1$}


\exot{La Baleine}
 Soit $f:[0,1]\to\bbr$. On suppose que~: \bel

 \item $f$ est
dérivable sur $[0,1]$;

\item $f(0)=f(1)=0$;

 \item $f'(0)=0$.
\el On veut montrer que l'une des tangentes au graphe de $f$, autre que la tangente à l'origine, passe par l'origine.


\des{limfonc.28}{4}

Vous <<~voyez sur le dessin~>> que la pente de la droite
 $(OM_0)$ est maximale.
 Cela nous incite à introduire une fonction <<~pente~>> $g~:x\mapsto
 \fr{f(x)}{x}$ dont la dérivée est intéressante.



 \exot{Fonction dérivable de dérivée non continue} Montrez que la fonction suivante est dérivable sur $\bbr$ sans que sa dérivée ne soit continue sur $\bbr$~:
$$
f~:\ \bbr \longrightarrow\bbr,\quad
 x\longmapsto x^2\sin{1/x}\  {\rm si}\ \  x\neq0\ \text{et}\
 f(0)=0$$


\exot{Style Bac avec ROC}



On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle I et un nombre réel $a$ appartenant à I.

\begin{enumerate} \item Rappeler la définition de « $f$ est dérivable en $a$ ».

\item Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés
citées peuvent être vérifiées simultanément ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le
cas contraire, justifier la réponse.

\begin{itemize} \item $f$ est continue en $a$ et $f$ est dérivable
en $a$ ;
\item $f$ est continue en $a$ et $f$ n'est pas dérivable en $a$ ;
\item $f$ n'est pas continue en $a$ et $f$ est dérivable en $a$ ;
\item $f$ n'est pas continue en $a$ et $f$ n'est pas dérivable en $a$.

\end{itemize}

\end{enumerate}





\exot{Être ou ne pas être un cercle}
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}\vspace{0cm}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle [0~;~ 1] par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$. Cette
fonction est d\'erivable sur [0~;~ 1] et sa d\'eriv\'ee $f'$ v\'erifie $f'(1) = 0$. La courbe repr\'esentative
 $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal est donn\'ee ci-contre.\\
 \begin{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
 \item  Montrer que le point $M$ de coordonn\'ees $(x,~ y)$ appartient à $\Gamma$ si et seulement si $x \geqslant 0,~ y \geqslant
0$ et
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$.
\item Montrer que $\Gamma$ est symétrique par rapport à la droite dont une équation
est $y=x$.
 \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
 \item  Si $\Gamma$ \'etait un arc de cercle, quel serait son centre ? Quel serait son rayon ?
\item   La courbe $\Gamma$ est-elle un arc de cercle ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}
\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(1.25,1.25)
\psline{->}(-0.25,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.25)(0,1.25) \psplot{0}{1}{ x 2 x 1 2 div exp mul sub 1 add} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \psline(1,0)(1,0.05) \psline(0,1)(0.05,1)
\end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage}
% \noindent \parbox[c]{0.5\textwidth}{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle [0~;~ 1] par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$. Cette
% fonction est d\'erivable sur [0~;~ 1] et sa d\'eriv\'ee $f'$ v\'erifie $f'(1) = 0$. La courbe repr\'esentative
%  $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal est donn\'ee ci-contre.\\
%  \begin{enumerate}

%  \item  \begin{enumerate}
%    \item  Montrer que le point $M$ de coordonn\'ees $(x,~ y)$ appartient à $\Gamma$ si et seulement si $x \geqslant 0,~ y \geqslant
% 0$ et
% $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$.\\
% \item Montrer que $\Gamma$ est symétrique par rapport à la droite dont une équation
% est $y=x$.} \hfill
% \parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{unit=4cm}\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(1.25,1.25)
% \psline{->}(-0.25,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.25)(0,1.25) \psplot{0}{1}{ x 2 x 1 2 div exp mul sub 1 add} \uput[dl](0,0){O}
% \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \psline(1,0)(1,0.05) \psline(0,1)(0.05,1)
% \end{pspicture}}
 


%\exot{\'Etude de tangentes}


%\noindent \parbox[c]{0.45\textwidth}{Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \Oij. On note $\Phi$  et $\Gamma$ les courbes
%repr\'esentatives respectives des
%fonctions exponentielle et logarithme n\'ep\'erien.\\
%Soit A le point de $\Phi$ d'abscisse $0$ et B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1.\\
%\textbf{1. a.} \'Ecrire les \'equations de la tangente D à la
%courbe $\Phi$ au point A et de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point B.\\
%\textbf{b.} Montrer que les droites $\Delta$ et $\Gamma$ sont parall\`eles.\\
%Quelle est leur distance ?} \hfill \noindent \parbox[c]{0.55\textwidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-2,-2)(2.5,2.5)
%\psline{->}(-2,0)(2.5,0) \psline{->}(0,-2)(0,2.5) \uput[dr](0,1){A} \uput[ul](1,0){B} \psplot{-2}{0.91}{2.71828 x exp}
%\psplot{0.15}{2.5}{x ln}
%\end{pspicture}}

%\vspace{0.4cm}

%\textbf{2. a.}  D\'emontrer que la courbe $\Phi$ est situ\'ee enti\`erement  au-dessus È de D.

%\textbf{b.} D\'emontrer que la courbe $\Gamma$ est situ\'ee enti\`erement  au-dessous È de A.

%\textbf{c.} On d\'esigne par $M$ un point quelconque de $\Phi$ et par $N$ un point quelconque de $\Gamma$. Expliquer pourquoi $MN
%\geqslant \sqrt{2}$.





\exot{Théorème de Rolle}

Ce théorème affirme que 

\begin{The}{\bf Théorème de Rolle}

Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et si $f(a)=f(b)$ alors il existe un
réel $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$

\end{The}

Nous nous proposons de démontrer ce théorème.

\been

\item Faites un dessin résumant .... et démontrant la situation.
\item  Comme $f$ est continue sur $[a,b]$, l'image de $[a,b]$ est un intervalle d'après le TVI. Notons-le $[m,M]$. \been
\item Si $m=M$, que peut-on en déduire ?
\item Sinon, le maximum $M$ par exemple est atteint pour un réel $e\in]a,b[$.  Notons $\tau_e(x)=\fr{f(e+x)-f(e)}{x}$. Que pensez-vous de $\limg{0}\tau_e(x)$ et $\limd{0}\tau_e(x)$ ?
\item \'Etudiez le signe de $f'(e)$ et concluez.
\een
\een


\exot{Théorème des acroissements finis}

Voici l'énoncé 

\begin{Defi}{\bf \théorème des accroissements finis}

 Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ alors il existe au moins un réel
 $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$

\end{Defi}


Pour prouver ce théorème, faites une figure. On appellera A le point d'abscisse $a$, B le point d'abscisse $b$, M le point de $\CR_f$ d'abscisse $x$ et P le point du segment [AB] d'abscisse $x$. On note enfin $\f(x)=\overline{PM}=y_M-y_P$
\been
\item Exprimez $\f(x)$ en fonction de $x$.
\item Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Rolle à $\f$ sur $[a,b]$ ? Appliquez le et concluez.
\een


\exot{Application du TAF}
\been
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f'(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez que $f$ est constante sur $[a,b]$. 
\item Soit deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ tells que $f'(x)=g'(x)$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez qu'il existe un réel constant $C$ tel que $f(x)=g(x)+C$ pour tout $x\in[a,b]$.
\een


\exot{Tracer le graphe d'une fonction dont on connaît la dérivée}

Une question surgit dans votre esprit en ébullition. On connaît des fonctions dont les dérivées
sont~:
\bez 
\item $x\mapsto x^2$
\item $x\mapsto x^1$
\item $x\mapsto x^0$
\item $x\mapsto x^{-2}$
\item $x\mapsto x^{-3}$
\ez

mais on ne connaît pas de fonction dont la dérivée est $x\mapsto \frac{1}{x}$. En existe-t-il une~?


Pour le savoir, nous allons utiliser notre fameuse approximation  affine \footnote{Voir théorème
  \vref{approx}}

\[ f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

pour $h$ \og~suffisamment petit~\fg

Nous en déduisons que $f(x+h)\approx h\times f'(x)+f(x)$.

Commentez alors le programme suivant
\begin{lstlisting}
  der2fonc(d,a,b,yo,h):={
     x:=a;
     y:=yo;
     P:=point(x,y);
  pour j de a jusque b pas h faire 
       y:=h*d(x)+y; x:=x+h; P:=P,point(x,y);
  fpour;
  couleur(P,rouge);
  }:;
\end{lstlisting}


Observons maintenant le graphe de la fonction $f$ qui a pour dérivée $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur
$[0,1\pv 15]$ avec $f(0,1)=-2,3$ et un pas de 0,05 :


\begin{lstlisting}
  der2fonc(x->1/x,0.1,15,-2.3,0.05)
\end{lstlisting}

Cette fonction semble donc exister~! Nous l'étudierons bientôt : c'est la fonction LOGARITHME NÉPÉRIEN.



\exot{Que fait ce programme~?}

\begin{lstlisting}
  gericault(f,a,p):={
d:=0;
h:=0.1;
tantque abs(D-d)>p faire 
      D:=d;
      d:=(f(a+h)-f(a))/(h);
      h:=h/2;
ftantque;
return(d)
}:;
\end{lstlisting}




\end{document}