

\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{\rightmark}{T\textsuperscript{ale}S5 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\setcounter{NumLecon}{5}

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{V}{Cinquième}{LA FONCTION}{EXPONENTIELLE}{La fonction exponentielle}{lapins.eps}






\section{ET L'HOMME CR\'EA L'EXPONENTIELLE...}

\subsection{Une équation différentielle}

On considère un circuit électrique comprenant une résistance $r$
et une bobine d'inductance $L$. Soit $u(t)$ la tension aux bornes
de la bobine et soit $i(t)$ le courant qui la parcourt. Vous avez
vu ou vous allez bientôt voir en cours d'électricité que tout ce
beau monde est lié par la relation $$u(t)=L\fr{{\rm d}i(t)}{{\rm
d}t}+r\,i(t)$$ qui peut vous sembler un peu obscure en ce début de
mois d'octobre.

Tentons malgré tout une expérience, comme dans tout bon tépéheu.
On suppose qu'au temps $t=0$, on coupe la tension.
Expérimentalement, on peut vérifier à l'aide d'un ampèremètre que
$$\Delta i(t)\simeq-\fr{r}{L}\,i(t)\,\Delta t$$
en considérant des intervalles de temps $\Delta t$ assez petits.

Cela s'écrit encore

$$\fr{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=-\fr{r}{L}\,i(t)$$
On reconnaît dans le membre de gauche le taux d'accroissement de
la fonction $i$ entre les temps $t$ et $t+\Delta t$. En supposant
que la fonction $i$ est dérivable sur $\bbr^+$, on obtient donc,
en faisant tendre $\Delta t$ vers 0

$$ i'(t)=-\fr{r}{L} \, i(t)$$

Vous apprendrez bientôt qu'il s'agit d'un cas particulier de la
première loi de Kirchhoff.

Il s'agit maintenant de déterminer $i(t)$ pour tout $t\in\bbr^+$.

\bigskip


\textit{L'équation différentielle} $f'=k\,f$ se retrouve dans de
nombreux problèmes : désintégration des noyaux des atomes d'un
corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d'une
population où la croissance est proportionnelle au nombre
d'habitants, etc. Le problème est de trouver une fonction la
satisfaisant.

Par exemple, certains phénomènes en mécanique conduisent à étudier
l'équation différentielle $f''=-f$. Nous connaissons au moins deux
fonctions la satisfaisant : cosinus et sinus.

Le problème avec $f'=kf$, c'est que nous ne connaissons aucune
fonction solution.



\subsection{Construction approchée du graphe d'une solution par la
méthode d'Euler}




Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=f(x)$.

\been

\item Soit $h$ un réel voisin de zéro. Montrez que, pour tout réel
$a$, l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées
s'écrit
$$f(a+h)\simeq (1+h)\times f(a)$$
\item On prend $h=0,001$. On note $(a_n)$ la suite définie par
$a_0=0$ et $a_{n+1}=a_n+h$. Donnez une approximation de
$f(a_{n+1})$ en fonction de $f(a_n)$.

Déduisez-en que la suite des approximations de $f(a_n)$ est une
suite géométrique que vous caractériserez.

\item Faîtes de même avec $h=-0,001$.

% \item Imaginez alors, à l'aide d'un tableur, une construction
% point par point de la représentation graphique d'une approximation
% de $f$ sur l'intervalle $[-2,2]$.

\item Montrez que $f(1)\simeq \pa{1+\fr{1}{n}}^n$ et calculez la
valeur approchée correspondante de $f(1)$ pour $n=10\,000$.

\een


\sm


Utiliser un tableur n'est pas très constructif. Mieux vaut faire appel à un vrai logiciel
de mathématiques~!

Voici un petit programme XCAS qui construit la courbe approchée par la méthode d'Euler mais dans le
cas général, c'est-à-dire que l'on va tracer la courbe correspondant à la fonction vérifiant~:

\bez
\item $f'=\alpha f$
\item $f(0)=yo$
\item $f$ est définie sur $[a\pv b]$
\item On va subdiviser $[a\pv b]$ en N segments de même longueur
\ez





\begin{lstlisting}
EulerExpo(alpha,N,a,b,yo):={
S:=NULL; // la suite des points est vide au départ
X:=a;  // au départ X vaut a
Y:=yo;  // au départ Y vaut yo
h:=(b-a)/N  // nous divisons [a,b] en N segments de longueur h
pour k de 0 jusque N pas 1 faire
X:=a+k*h; // on avance de h à chaque tour de boucle
Y:=(1+alpha*h)*Y; // f(X+h)=(1+alpha*h)f(X) 
P:=point(X,Y);  // on crée le nouveau point 
S:=S,P;  // on le rajoute à notre liste
fpour  // fin de la boucle
polygone_ouvert(S); // on relie les points de la liste S à la règle
}:;
\end{lstlisting}


Par exemple, pour  $\alpha=1$, $a=-2$, $b=2$, $N=100$ et $yo=0,135$~:

\begin{lstlisting}
EulerExpo(1,100,-2,2,exp(-2))
\end{lstlisting}


on obtient~:

\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{Euler.eps}
\end{center}



\subsection{Analyse~: étude des propriétés mathématiques d'une
solution}


Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$
et, pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.

\been

\item Montrez que $f'(0)=k$.

\item Soit $a$ un réel fixé et $g$ la fonction définie par
$$g(x)=f(x+a)f(-x)$$

\been

\item Montrez que $g$ est dérivable sur $\bbr$ et calculez
$g'_a(x)$.

\item Calculez $g(0)$ et déduisez-en que pour tous $x$ et $a$
réels,

$$f(x+a)\,f(-x)=f(a)\qquad \mg{(1)}$$

\een

\item Montrez alors successivement que

\been

\item pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)=1$

\item $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$

\item pour tous réels $x$ et $a$


$$f(x+a)=f(x)\,f(a)$$

\een

\een

\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{mistake.eps}
\end{center}

\subsection{Unicité de la fonction solution}

Peut-on trouver une autre  fonction, $\f$,  distincte de $f$,
et vérifiant les mêmes propriétés que $f$, à savoir~: $\f$  est
une fonction dérivable sur $\bbr$,  vérifiant $\f(0)=1$ et, pour
tout $x$, $\f'(x)=k\,\f(x)$, avec $k\neq 0$~?

\medskip

Comme $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$, on peut définir la
fonction $\f=\f/f$.

Vérifiez que $\f$ est dérivable sur $\bbr$, calculez sa dérivée.
Que peut-on en déduire pour $\f$~? Montrez alors que $f=\f$.


\subsection{Synthèse}

Nous avons cherché des solutions au problème

\begin{center}

$f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.


\end{center}


Nous avons montré que, \textit{si une telle fonction existe} (ce
que nous prouverons dans un prochain chapitre), alors elle est
unique et elle  vérifie nécessairement la relation


$$f(x+y)=f(x)\,f(y) \qquad (2)$$

Il reste à vérifier que, réciproquement, une fonction dérivable,
non nulle, vérifiant la relation (2)  est nécessairement telle que
$f(0)=1$ et vérifie pour tout réel $x$ $f'(x)=kf(x)$, avec $k$ un
réel non nul.

\bigskip

Cette vérification n'est pas anodine et conclut notre raisonnement
d'\textit{analyse-synthèse}.
%Par exemple, on cherche un plombier
%pouvant se glisser dans les canalisations d'une maison pour la
%réparer.
%
%Analyse : nécessairement, cet homme devra mesurer 1 cm de haut,
%avoir des branchies pour respirer sous l'eau, être nyctalope.
%Synthèse :


\been

\item Montrez que $f$ ne s'annule pas et que $f$ est à valeurs
strictement positives.

\item Montrez que, comme $f$ n'est pas la fonction nulle, alors
$f(0)=1$ en utilisant la relation (2).

\item Soit $a$ un réel fixé. On définit la fonction $\f~:~x\mapsto
f(x+a)$ et la fonction $\psi~:~x\mapsto f(x)\times f(a)$.

Montrez que $f'(x+a)=f(a)\times f'(x)$, puis que, pour tout réel
$a$, $f'(a)=k\,f(a)$, où $k$ est un réel que vous déterminerez.

\een




\subsection{Le bébé est prêt}


\begin{The}
  Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\bbr$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. \\
On la nomme
\textbf{fonction exponentielle} et on la note \textbf{exp}.\\
L'exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la
relation
$$\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$$
\end{The}








\subsection{Conséquences immédiates}

Vous pouvez démontrer aisément que

\bel

\item $\exp(0)=1$

\item $\exp$ est dérivable sur $\bbr$ et $\exp'(x)=\exp(x)$

\item Pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$

\item La fonction exp est strictement croissante sur $\bbr$

\item $\exp(a-b)=\fr{\exp(a)}{\exp(b)}$

\item $\exp(-b)=\fr{1}{\exp(b)}$

\item $\exp(ka)=\cro{\exp(a)}^k$, avec $k\in\bbz$

\item
$\exp\pa{\fr{a}{n}}=\sqrt[n]{\exp(a)}$=$\cro{\exp(a)}^{\frac{1}{n}}$,
avec $n\in\bbn^*$

\el

\subsection{La notation $e^x$}

On pose $\mg{e=\exp(1)}$. Nous avons obtenu grâce à la méthode
d'Euler une approximation de $e$, car $e=\lin\pa{1+\fr{1}{n}}^n$

$$e\simeq 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427$$

Nous avons obtenu précédemment que pour tout entier $k$,
$$\exp(k)=\exp(k\times 1)=\pa{\exp(1)}^k=e^k$$

Nous noterons  alors, \textbf{par convention}, que

$$\exp(x)=e^x$$

Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont
conformes à l'usage de la notation puissance.

\subsection{Propriétés analytiques de l'exponentielle}

\bel

\item  Prouvez que $$\Lim{+\infty}e^x=+\infty$$ en étudiant la
fonction $\f~:~x\mapsto e^x-x$

\item Déduisez-en que $$\Lim{-\infty}e^x=0$$

\item Comparez $e^{x/2}$ et $x/2$. Déduisez-en que
$$\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$$

\el



\bigskip\bigskip


\section{CONNAISSEZ-VOUS VOTRE COURS ?}{Connaissez-vous votre cours~?}

Voici des exemples d'exercices s'appuyant sur une bonne connaissance du cours et qui deviennent très à la mode au Bac.

\exot{} On sait qu'une fonction $f$ est dérivable sur $\bbr$, qu'il existe $x_0\in\bbr$ tel que $f(x_0)\neq 0$ et que pour tous réels $x$
et $y$, $f(x+y)=f(x)f(y)$.
 \been
\item Montrez que $f$ est à valeurs positives.
\item Montrez que $f(0)=1$.
\item Soit $a$ un réel fixé. Montrez que, pour tout réel $x$, $f'(x+a)=f(a)f'(x)$.
\item On suppose que $f'(0)>0$
\been
\item Quel est le sens de variation de $f$~?
\item Déterminez $\Lim{+\infty}f(x)$.\een
\item Une fonction strictement croissante et à valeurs strictement positives diverge-t-elle forcément vers $+\infty$~?\een

\exot{} Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

\begin{enumerate} \item exp est une fonction dérivable sur $\bbr$ ;

\item sa fonction dérivée, notée exp$'$, est telle que, pour tout nombre
réel $x$, exp$'(x)$ =  exp($x$) ;

\item exp($0$) = $1$.

\end{enumerate}

En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que

\begin{itemize} \item Pour tout nombre réel $x,~ \text{exp}(x) \times
\text{exp}(- x) = 1$ ;

\item pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel $b,~ \text{exp}(a +
b) =  \text{exp}(a) \times \text{exp}(b)$.

\end{itemize}

\exot{} La fonction $f$ est définie sur $\bbr$ par $\begin{cases} f(x)=\exp\pa{\fr{x-1}{x^2}}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$

\been
\item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\item La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\bbr^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\bbr$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.\een



\exot{}


Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\bbr$ par :

\[f(x) = \cfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} \item Faites apparaître sur l'\'ecran de votre calculatrice graphique la courbe
 repr\'esentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.

\noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'apr\`es cette repr\'esentation graphique, que
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} \item Sur les variations de la fonction $f$ ?

\item Sur le nombre de solutions de l'\'equation $f (x) = 0$ ?

\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'\'etudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} \item R\'esoudre dans $\bbr$ l'in\'equation $\text{e}^{2x}-
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item D\'eduire de cette \'etude le nombre de  solutions de
l'\'equation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut repr\'esenter, sur l'\'ecran d'une calculatrice, la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les r\'esultats de la question \textbf{3.}

\noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonn\'ee $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?

\end{enumerate}



\section{EXERCICES D'APPLICATION}

\exot{}

\illmpl{Reconnaître parmi les figures ci-contre les courbes représentatives des fonctions suivantes~:
\bel
\item $x\mapsto \E^{-x}$
\item $x\mapsto \E^{x}$
\item $x\mapsto \E^{x+1}$
\item $x\mapsto \E^{x}+1$
\item $x\mapsto -\E^{x}$
\item $x\mapsto -\E^{x-1}$
\el}{analyse20078.14}{0.3}{0.65}


\exot{}


Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:

\begin{nliste}{3}
\item $\E^{x}\E^{-x}$
\item $\E^{x}\E^{-x+1}$
\item $\E\E^{-x}$
\item $\left(\E^{-x}\right)^2$
\item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\E^x\right)^3}{\E^{2x}}$
\item $\E^x \left(\E^x+\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x\right)^5 \left(\E^{-2x}\right)^2$
\item $\E^{-3x+1}\left(\E^x\right)^3$
\item $\sqrt{\E^{-2x}}$
\item $\dfrac{\E^{-4x}\E}{\left(\E^{-x}\right)^2}$
\item $\left(\E^x+\E^{-x}\right)^2-\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2-\E^{-x}\left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)\left(\E^{2x}+\E^x+1\right)$
\end{nliste}



\exot{}

Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des fonctions définies
par les expressions suivantes~:

\begin{nliste}{3}

\item $f_1(x)=\E^x+x^2+1$
\item $f_2(x)=5\E^x+5x\E^x$
\item $f_3(x)=\E^x\sin(x)$
\item $f_4(x)=\dfrac{\E^x+1}{\E^x-1}$
\item $f_5(x)=\dfrac{3x+1-\E^x}{\E^{x}}$
\item $f_6(x)=x^3\E^{-x}$
\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$
\item $f_8(x)=\dfrac{\E^{x}}{x}$
\item $f_9(x)=\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{10}(x)=\left(\E^x\right)^2+\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{11}(x)=\E^{-x}$
\item $f_{12}(x)=\E^{4x+1}$
\item $f_{13}(x)=\E^{\cos(x)}$
\item $f_{14}(x)=\E^{5x^3+7x+4}$
\item $f_{15}(x)=(x+1)\E^{-x+1}$
\item $f_{16}(x)=\dfrac{\E^{2x}-1}{x}$

\end{nliste}

\exot{}


\begin{enumerate}
\item Résolvez l'équation différentielle $y'=-2y$.
\item Dans le repère ci-dessous sont représentées les courbes de quelques solutions de l'équation
  différentielle précédente. Déterminez pour chacune des courbes la valeur de la constante~:

\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.15}
\end{center}


\item Pour chaque couple de coordonnées, déterminez la solution de l'équation différentielle passant
  par ce point~: (0,1); (0,0); (0,2); (2,-1); ($\sqrt{2}$,-1)


\end{enumerate}


\section{DES EXERCICES DE BAC}

\exot{}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\bbr$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \oij (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\bbr$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{}
Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} \item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe repr\'esentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un \'el\'ement de I.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}






\exot{}
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

\noindent On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere orthogonal \oij, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.

\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.

\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente (T)  \`a la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.

\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
par rapport \`a la droite (T).

\end{enumerate}

\item Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).

\end{enumerate}





\section{UNE TRIGONOM\'ETRIE <<~EXPONENTIELLE~>>}


\exot{}

On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie sur $\bbr$ par
$$\ch~:\ x\mapsto \ch(x)=\fr{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction définie sur $\bbr$ par
$$\sh~:\ x\mapsto \sh(x)=\fr{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction définie par
$$\th~:\ x\mapsto\fr{\sh(x)}{\ch(x)}$$
\been

\item Déterminez les dérivées de ces fonctions en fonction de ch
et sh.
\item \'Etudiez ces fonctions pour montrer que ch est à valeurs dans $[1,+\infty]$ et que th
est définie sur $\bbr$ et à valeurs dans $[-1,1]$.
\item Calculez $\th(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en fonction de $e^{-2x}$.
\item Montrez que $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$.
\item Montrez que $\ch(x+y)=\ch(x)\ch(y)+\sh(x)\sh(y)$ et que
$\sh(x+y)=\sh(x)\ch(y)+\ch(x)\sh(y)$.
\item Déduisez-en que
$\th(x+y)=\fr{\th(x)+\th(y)}{1+\th(x)\th(y)}$
\item On pose $t=\th(x/2)$. Montrez que $\ch(x)=\fr{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sh(x)=\fr{2t}{1-t^2}$
\item Résolvez dans $\bbr$ l'équation $5\ch(x)-4\sh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près.
\item Pour le plaisir : dérivez la fonction $x\mapsto
\fr{2\sin(x)\sh(x)}{(\sh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\bbr$. Comparez $\sh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sh(2x)=2\sh(x)\ch(x)$ puis étudiez la fonction
$f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\fr{\th(x)}{x}$$.

\een


\section{À L'AVENTURE}



\exot{}


 Donnez un maximum d'informations sur les fonctions $f~:~x\mapsto e^x\sin x$, $g~:~x\mapsto e^{(1/\cos x)}$ et $h~:~x\mapsto e^{-x}\cos x$.

\exot{} La fonction $\f~:~x\mapsto \begin{cases}\exp\pa{\fr{x-1}{x^2}}\quad \text{si}\ x\neq 0\\ a \quad \text{si}\ x=0 \end{cases}$
est-elle dérivable sur $\bbr$~?

\exot{} On pose $g_n(t)=t^ne^{-t}$. On note $g_n^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $g_n$. Montrer que $t\mapsto e^tg_n^{(n)}(t)$ est une
fonction polynomiale de degré $n$. 

\section{L'EXPONENTIELLE À TRAVERS LES SCIENCES}

%\author{À rendre le vendredi 15 novembre 2002}
%\date{}
 \setlength{\parindent}{0pt}



%\begin{document}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%\thispagestyle{empty}
%
%\maketitle
%
%\bigskip
%
\exot{Les éléphantes}

\illmpl{La fonction de croissance de \textsc{von Bertanlanffy} donne
approximativement la masse $W(t)$ (en kg) à l'âge $t$ (en années)
des éléphantes africaines. Son expression est
$$W(t)=2600\left(1-0,51 e^{-0,075\,t}\right)^3$$
\been
\item \'Evaluez la masse et le taux de croissance d'un
nouveau-né (le taux de croissance à l'instant $t$ est évidemment
$W'(t)$).
\item Calculez et interprétez $\ds\lim_{t\to +\infty}W(t)$.
%\item Montrez que le taux de croissance le plus fort se situe
%entre 5 et 6 ans.
 \een
\exot{Le gaz} Les molécules d'un gaz enfermé dans un récipient à la
température $T$ sont animées d'une vitesse de $v$ cm.s$^{-1}$. Cet
état d'équilibre est caractérisé par la fonction de distribution
de vitesse de \textsc{Maxwell-Boltzmann}
$$F(v)=cv^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$

}{pink_elephant.eps}{0.65}{0.3}

\smallskip

où $T$ est la température (en K), $m$ la masse d'une molécule et
$c$ et $k$ des constantes positives.\\
Montrez que la valeur maximale de $F$ a lieu en $v=\sqrt{2kT/m}$.


% \bfi\centering
% \includegraphics[height=6cm]{physiciens.eps}
% \efi




\exot{L'Amérique} Un \textit{modèle de densité urbaine} est une formule qui lie
la densité de la population (en nombre de personnes par unité de
surface) à la distance $r$ (en unité de longueur) du centre ville.
La formule
$$D=a\,e^{-br+cr^2}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes positives ($a$ est la
densité au centre, $b$ le coefficient de décroissance), convient
pour certaines villes des \'Etats-Unis

Déterminez l'allure de la courbe représentative de ce modèle.



\exot{Loi normale}
\illmpl{
En statistiques, la \textit{distribution normale} est définie par la fonction de densité de probabilité
$$f(x)=\fr{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\quad\text{où}\quad
z=\fr{x-\mu}{\sigma}$$ $\mu$ est la moyenne de cette distribution
et $\sigma^2$ la variance. L'étude de cette fonction est utilisée
dans des domaines qui vont de la mécanique quantique à la
répartition des notes du baccalauréat.
\'Etudiez cette fonction (sens de variation, limites) et tracez la
courbe représentative de $f$.
}{URHere.eps}{0.6}{0.35}


\exot{Electicity} On considère un circuit électrique composé d'une force
électromotrice $U$, d'une résistance $R$ et d'une inductance $L$.
L'intensité du courant $I$ varie en fonction du temps $t$ selon la
formule
$$I=\fr{U}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)$$
On considère que $R$ est la seule variable indépendante, $i.e.$
$U$, $L$ et $t$ sont considérés comme des constantes et $R$ comme
une variable. Calculez $\ds\lim_{R\to 0\ R>0}I$.






\exot{Panthère rose}

La loi de Newton sur le refroidissement dit que la vitesse de refroidissement d'un objet est
proportionnelle à l'écart de température entre l'objet et le milieu ambiant.

L'inspecteur \textsc{Clouseau} arrive sur les lieux d'un meurtre à 9:00. Il commence par prendre la
température de la victime~:~30\degre C. Une heure plus tard, la température du corps est tombée à
29\degre C. Sachant que la température normale du corps d'une personne vivante en bonne santé est de
37\degre C, que la victime était syldave, qu'elle  aimait  les films de gladiateurs et se trouvait
dans une pièce maintenue à 0\degre C, estimez l'heure du décès de la victime et la couleur de ses yeux.


\exot{Forêt syldave}


\illmpl{\vspace{0.5cm}
Dans la forêt syldave, des détritus naturels (~feuilles, branches, animaux morts, cadavres
d'espions, etc.) tombent sur le sol et s'y décomposent. La quantité $Q(t)$ exprimée en $g\cdot m^{-2}$ de
détritus jonchant le sol varie avec le temps $t$. On suppose que de nouveaux détritus tombent au sol
à un taux constant de $200\,g\cdot m^{-2}$ par année et que les détritus accumulés au sol se décomposent
au taux de $50\%$ de la quantité de détritus jonchant le sol.
\begin{enumerate}
\item On note $f(t)=Q(t)-200$. Déterminez une équation différentielle vérifiée par $f$.
\item En déduire l'expression générale de $Q(t)$.
\item Exprimer $Q(t)$ sachant qu'au temps $t=0$, on comptait $50\,g\cdot m^{-2}$
\end{enumerate}
}{/home/moi/Photos/Tehessin/paysageSyldave.eps}{0.55}{0.3}



%
%
%\section{UN PROBLÈME DE BAC}{Un problème de Bac}
%
%
%On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
%$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ et sa courbe représentative $(C)$ dans le
%repère orthonormal $(O,\ve{i},\ve{j})$.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\textbf{Partie A - \'Etude de la fonction} \mg{$f$}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\been \item \been \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
%Que peut-on en déduire pour $(C)$~? \item Déterminer la limite de
%$f$ en $-\infty$. \een \item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe
%de $f'$ sur $\bbr$. \item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item \been \item Déterminer les coordonnées du point $A$
%d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. \item \'Etudier
%le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \een \een
%\medskip
%
%\begin{center}
%\textbf{Partie B - \'Etude d'une tangente}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\been \item On rappelle que  $f''$ désigne la dérivée seconde de
%$f$. \been \item Montrer que, pour tout réel $x$,
%$f''(x)=4(2x-1)e^{-2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)=0$.
%\een \item Soit $B$ le point d'abscisse 1/2 de la courbe $(C)$.
%Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$. \item
%On veut étudier la position relative de $(C)$ et $(T)$~: pour cela
%on considère la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par
%$$g(x)=f(x)-\left(-\fr{2}{e}x+\fr{3}{e}\right)$$
%\been \item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. \item \'Etudier le
%signe de $g''(x)$ suivant les valeurs $x$. En déduire le sens de
%variation de $g'$ sur $\bbr$. \item Calculer $g'(1/2)$ et en
%déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur
%$\bbr$. \item Calculer $g(1/2)$ et déterminer alors le signe de
%$g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la
%position relative de $(C)$ et $(T)$~? \een
% \een (Bac
%2001)
%
%
%
%

\end{document}
